Як розрахувати обсяг різних геометричних тіл?

В курсі стереометрії один з головних питань - як розрахувати обсяг того чи іншого геометричного тіла. Все починається з простого паралелепіпеда і закінчується кулею.

У житті теж часто доводиться стикатися з подібними завданнями. Наприклад, щоб розрахувати обсяг води, яка міститься в відро або бочку.

Властивості, справедливі для обсягу кожного тіла

1. Це значення - завжди позитивне число.
2. Якщо тіло вдається розділити на частини так, щоб не було перетинів, то загальний обсяг виявляється рівним сумі обсягів частин.
3. У рівних тел однакові обсяги.
4. Якщо менше тіло повністю поміщається в більшому, то обсяг першого менше, ніж другого.

Загальні позначення для всіх тіл

У кожному з них є ребра і підстави, в них будуються висоти. Тому такі елементи для них однаково позначені. Саме так вони записані в формулах. Як розрахувати обсяг кожного з тіл - дізнаємося далі і застосуємо на практиці нові вміння.

У деяких формулах є інші величини. Про їх позначенні буде сказано при появі такої необхідності.

Призма, паралелепіпед (прямий і похилий) і куб

Ці тіла об`єднані, тому що зовні дуже схожі, і формули того, як розрахувати обсяг, ідентичні:

V = S₀ * H.

Відрізнятися буде тільки S₀. У випадку з параллелепипедом вона розраховується, як для прямокутника або квадрата. У призмі підставою може виявитися трикутник, паралелограм, довільний чотирикутник або інший багатокутник.

Для куба формула істотно спрощується, тому що всі його вимірювання рівні:

V = а³.

Піраміда, тетраедр, зрізана піраміда

Для першого з зазначених тел існує така формула, щоб обчислити об`єм:

V = 1/3 * S₀ * Н.

Тетраедр є окремим випадком трикутної піраміди. У ньому все ребра рівні. Тому знову виходить спрощена формула:

V = (а³ * radic-2) / 12, або V = ^{1 /₃}S₀h

Усіченої піраміда стає тоді, коли у неї зрізана верхня частина. Тому її обсяг дорівнює різниці двох пірамід: тієї, яка була б цілою, і віддаленій верхівки. Якщо є можливість дізнатися обидва підстави такої піраміди (S₁ - більше і S₂ - менше), то зручно користуватися такою формулою для розрахунку обсягу:

V = 1/3 * h * (S₁ + radic- (S₁S₂) + S₂).

Циліндр, конус і усічений конус

Якщо потрібно розрахувати обсяг циліндра, можна скористатися формулою, яка вказана для призми. Іноді зручно записати її в такому вигляді:

V = pi- * r² * H.

Дещо складніше йде справа з конусом. Для нього існує формула:

V = 1/3 pi- * r² * H. Вона дуже схожа на ту, що вказана для циліндра, тільки значення зменшено в три рази.

Так само, як з усіченої пірамідою, справа йде непросто з конусом, який має дві підстави. Формула для обчислення обсягу усіченого конуса виглядає так:

V = 1/3 pi- * h * (r₁² + r₁r₂ + r₂²). тут r₁ - радіус нижньої основи, r₂ - верхнього (меншого).

Куля, кульові сегменти і сектор

Це найскладніші для запам`ятовування формули. Для обсягу кулі вона виглядає так:

V = 4/3 pi- * r³.

У завданнях часто є питання про те, як розрахувати обсяг кульового сегмента - частини сфери, яка як би зрізана паралельно діаметру. У цьому випадку на виручку прийде така формула:

V = pi- h² * (R - h / 3). У ній за h взята висота сегмента, тобто та частина, яка йде по радіусу кулі.

Сектор ділиться на дві частини: конус і кульової сегмент. Тому його обсяг визначається як сума цих тіл. Формула після перетворень виглядає так:

V = 2/3 pi-r² * H. Тут h також висота сегмента.

приклади завдань

Про обсяги циліндра, кулі і конуса

Умова: діаметр циліндра (1 тіло) дорівнює його висоті, діаметру кулі (2 тіло) і висоті конуса (3 тіло) - перевірити пропорційність обсягів V₁ : V₂ : V₃ = 3: 2: 1

Рішення. Спочатку потрібно записати три формули для обсягів. Потім врахувати, що радіус - це половина діаметру. Тобто висота буде дорівнює двом радіусів: h = 2r. Провівши просту заміну виходить, що формули для обсягів матимуть такий вигляд:

V₁ = 2 pi- r³- V₃ = 2/3 pi- r³. Формула для обсягу кулі не змінюється, тому що в ній не фігурує висота.

Тепер залишилося записати відносини обсягів і провести скорочення 2pi- і r³. Виходить, що V₁ : V₂ : V₃ = 1: 2/3: 1/3. Ці числа легко привести до запису 3: 2: 1.

Відповідь. V₁ : V₂ : V₃ = 3: 2: 1.

Про об`єм кулі

Умова: є два кавуна радіусами 15 і 20 см-як їх вигідніше з`їсти: перший вчотирьох або другий увосьмеро?

Рішення. Щоб відповісти на це питання, потрібно знайти відношення обсягів частин, які дістануться від кожного кавуна. Беручи до уваги, що вони - кулі, потрібно записати дві формули для обсягів. Потім врахувати, що від першого кожному дістанеться тільки четверта частина, а від другого - восьма.

Залишилося записати відношення обсягів частин. Воно буде виглядати так:

(V₁ : 4) / (V₂ : 8) = (1/3 pi- r₁³) / (1/6 pi- r₂³). Після перетворення залишається тільки дріб: (2 r₁³) / R₂³. Після підстановки значень і обчислення виходить дріб 6750/8000. З неї ясно, що частина від першого кавуна буде менше, ніж від другого.

Відповідь. Вигідніше з`їсти восьму частину від кавуна з радіусом 20 см.

Про обсяги піраміди і куба

Умова: є піраміда з глини з прямокутною підставою 8х9 см і заввишки 9 см-з цього ж шматка глини зробили куб- чому дорівнює його ребро?

Рішення. Якщо позначити боку прямокутника літерами в і з, то площа основи піраміди обчислюється, як їх твір. Тоді формула для її обсягу:

V₁= 1/3 * вс * h.

Формула для обсягу куба написана в статті вище. Ці два значення рівні: V₁ = V₂. Залишилося прирівняти праві частини формул і зробити необхідні обчислення. Виходить, що ребро куба буде дорівнює 6 см.

Відповідь. а = 6 см.

Про обсяг паралелепіпеда

Умова: потрібно зробити ящик місткістю 0,96 м³, відомі його ширина і довжина - 1,2 і 0,8 метра-якою має бути його висота?

Рішення. Оскільки підстава паралелепіпеда - прямокутник, його площа визначається як добуток довжини (а) на ширину (в). Тому формула для об`єму виглядає так:

V = а * в * н.

З неї легко визначити висоту, розділивши обсяг на площу. Вийде, що висота повинна дорівнювати 1 м.

Відповідь. Висота ящика дорівнює одному метру.