Трохи інформації про кубі і про способи того, як обчислити площу поверхні куба

Куб - дивовижна фігура. Він однаковий з усіх боків. Будь-яка його грань може вмить стати підставою або бічній. І від цього нічого не зміниться. А формули для нього завжди легко запам`ятовуються. І неважливо, що потрібно знайти - обсяг або площа поверхні куба. В останньому випадку навіть не потрібно вчити щось нове. Досить пам`ятати тільки формулу площі квадрата.

Що таке площа?

Цю величину прийнято позначати латинською буквою S. Причому це справедливо для шкільних предметів, таких як фізика і математика. Вимірюється вона в квадратних одиницях довжини. Все залежить від даних в задачі величин. Це можуть бути мм, см, м або км в квадраті. Причому можливі випадки, коли одиниці навіть не вказані. Йдеться просто про числовому вираженні площі без назви.

Так що ж таке площа? Це величина, яка є числовою характеристикою розглянутої фігури або об`ємного тіла. Вона показує розмір її поверхні, яка обмежена сторонами фігури.

площа поверхні куба

Яка фігура називається кубом?

Ця фігура є многогранником. Причому непростим. Він правильний, тобто у нього всі елементи дорівнюють один одному. Будь то сторони або грані. Кожна поверхня куба являє собою квадрат.

Інша назва куба - правильний гексаедр, якщо по-російськи, то шестигранник. Він може бути утворений з чотирикутної призми або паралелепіпеда. При дотриманні умови, коли всі ребра рівні і кути утворюють 90 градусів.

Ця фігура настільки гармонійна, що часто використовується в побуті. Наприклад, перші іграшки малюка - кубики. А забава для тих, хто постарше, - кубик Рубика.

кубики

Як пов`язаний куб з іншими фігурами і тілами?

Якщо накреслити перетин куба, яке проходить через три його межі, то воно матиме вид трикутника. У міру віддалення від вершини перетин буде все більше. Настане момент, коли перетинатися будуть вже 4 грані, і фігура в перерізі стане чотирикутником. Якщо провести розтин через центр куба так, щоб воно було перпендикулярно його головним діагоналях, то вийде правильний шестикутник.

перетину куба

Усередині куба можна накреслити тетраедр (трикутну піраміду). За вершину тетраедра береться один з його кутів. Решта три співпадуть з вершинами, які лежать на протилежних кінцях ребер обраного кута куба.

У нього можна вписати октаедр (опуклий правильний багатогранник, який схожий на дві з`єднані піраміди). Для цього потрібно знайти центри всіх граней куба. Вони будуть вершинами октаедра.

Можлива і зворотна операція, тобто всередину октаедра реально вписати куб. Тільки тепер центри граней першого стануть вершинами для другого.

Метод 1: обчислення площі куба по його ребру

Для того щоб обчислити всю площу поверхні куба, потрібно знання одного з його елементів. Найпростіший спосіб вирішення, коли відомо його ребро або, іншими словами, сторона квадрата, з якого він складається. Зазвичай ця величина позначається латинською буквою «а».

Тепер потрібно згадати формулу, по якій обчислюється площа квадрата. Щоб не заплутатися, введено її позначення буквою S1.

1

Для зручності краще задати номери всім формулами. Ця буде першою.

Але це площа тільки одного квадратика. Всього їх шість: 4 з боків і 2 знизу і зверху. Тоді площа поверхні куба обчислюється за такою формулою: S = 6 * a2. Її номер 2.

2

площа повної поверхні куба

Метод 2: як обчислити площу, якщо відомий обсяг тіла

Цей спосіб зводиться до того, щоб порахувати довжину ребра за відомим об`ємом. І потім вже скористатися відомою формулою, яка тут позначена цифрою 2.

З математичного виразу для обсягу гексаедр виводиться то, за яким можна порахувати довжину ребра. Ось вона:

3



Нумерація триває, і тут уже цифра 3.

Тепер його можна обчислити і підставити в другу формулу. Якщо діяти за нормами математики, то потрібно вивести такий вислів:

4

Це формула площі всієї поверхні куба, якою можна скористатися, якщо відомий обсяг. Номер цього запису 4.

Метод 3: розрахунок площі по діагоналі куба

Для того щоб розрахувати площа повної поверхні куба, також буде потрібно вивести ребро через відому діагональ. Тут використовується формула для головної діагоналі гексаедр:

5

Це формула №5.

З неї легко вивести вираз для ребра куба:

6

Це шоста формула. Після його обчислення можна знову скористатися формулою під другим номером. Але краще записати таку:

7

Вона виявляється пронумерованій цифрою 7. Якщо уважно подивитися, то можна помітити, що остання формула зручніше, ніж поетапний розрахунок.

Метод 4: як скористатися радіусом вписаного або описаного кола для обчислення площі куба



Якщо позначити радіус описаного навколо гексаедр окружності буквою R, то площа поверхні куба буде легко обчислити за такою формулою:

8

Її порядковий номер 8. Вона легко виходить завдяки тому, що діаметр окружності повністю збігається з головною діагоналлю.

Позначивши радіус вписаного кола латинською буквою r, можна отримати таку формулу для площі всієї поверхні гексаедр:

9

Це формула №9.

Кілька слів про бічній поверхні гексаедр

Якщо в задачі потрібно знайти площу бічної поверхні куба, то потрібно скористатися вже описаним вище прийомом. Коли вже дано ребро тіла, то просто площа квадрата потрібно помножити на 4. Ця цифра з`явилася через те, що бічних граней у куба всього 4. Математична запис цього виразу така:

10

Її номер 10. Якщо дані якісь інші величини, то надходять аналогічно описаним вище методам.

приклади завдань

Умова першої. Відома площа поверхні куба. Вона дорівнює 200 смsup2-. Необхідно обчислити головну діагональ куба.

Рішення.

1 спосіб. Потрібно скористатися формулою, яка позначена цифрою 2. З неї буде нескладно вивести «а». Ця математична запис буде виглядати як квадратний корінь з приватного, рівного S на 6. Після підстановки чисел виходить:

а = radic- (200/6) = radic- (100/3) = 10 radic-3 (див).

П`ята формула дозволяє відразу обчислити головну діагональ куба. Для цього потрібно значення ребра помножити на radic-3. Це просто. У відповіді виходить, що діагональ дорівнює 10 см.

2 спосіб. На випадок якщо забулася формула для діагоналі, але пам`ятається теорема Піфагора.

Аналогічно тому, як було в першому способі, знайти ребро. Потім потрібно записати теорему для гіпотенузи два рази: першу для трикутника на межі, другу для того, який містить шукану діагональ.

хsup2- = аsup2- + аsup2-, де х - діагональ квадрата.

dsup2- = хsup2- + аsup2- = аsup2- + аsup2- + аsup2- = 3 аsup2-. З цього запису легко видно, як виходить формула для діагоналі. А далі всі розрахунки будуть, як в першому способі. Він трошки довше, але дозволяє не запам`ятовувати формулу, а отримати її самостійно.

Відповідь: діагональ куба дорівнює 10 см.

креслення куба

Умова другий. За відомою площі поверхні, яка дорівнює 54 см2, обчислити об`єм куба.

Рішення.

Користуючись формулою під другим номером, потрібно дізнатися значення ребра куба. Те, як це робиться, докладно описано в першому способі рішення попередньої задачі. Провівши все обчислення, отримаємо, що а = 3 см.

Тепер потрібно скористатися формулою для обсягу куба, в якій довжина ребра зводиться в третю ступінь. Значить, обсяг буде вважатися так: V = 33 = 27 см3.

Відповідь: обсяг куба дорівнює 27 см3.

площа бічної поверхні куба

Умова третьої. Потрібно знайти ребро куба, для якого виконується така умова. При збільшенні ребра на 9 одиниць площа всієї поверхні збільшується на 594.

Рішення.

Оскільки явних чисел в завданню не дано, тільки різниці між тим, що було, і тим, що стало, то потрібно ввести додаткові позначення. Це не складно. Нехай шукана величина буде дорівнює «а». Тоді збільшене ребро куба дорівнюватиме (а + 9).

Знаючи це, потрібно записати формулу для площі поверхні куба два рази. Перша - для початкового значення ребра - співпаде з тією, яка пронумерована цифрою 2. Друга буде трохи відрізнятися. У ній замість «а» потрібно записати суму (а + 9). Так як в завданні йдеться про різниці площ, то потрібно відняти з більшої площі меншу:

6 * (а + 9)2 - 6 * а2 = 594.

Потрібно провести перетворення. Спочатку винести за дужки 6 в лівій частині рівності, а потім спростити те, що залишиться в дужках. А саме (а + 9)2 - а2. Тут записана різниця квадратів, яку можна перетворити так: (а + 9 - а) (а + 9 + а). Після спрощення виразу виходить 9 (2а + 9).

Тепер його потрібно помножити на 6, тобто те число, що було перед дужкою, і прирівняти до 594: 54 (2а + 9) = 594. Це лінійне рівняння з однієї невідомої. Його легко вирішити. Спочатку потрібно розкрити дужки, а потім перенести в ліву частину рівності доданок з невідомою величиною, а числа - в праву. Вийде рівняння: 2а = 2. З нього видно, що шукана величина дорівнює 1.

Відповідь: а = 1.



Увага, тільки СЬОГОДНІ!

Увага, тільки СЬОГОДНІ!