Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або скористатися тими, в яких вже враховано особливість саме цієї фігури і математичні вирази істотно спрощені.
Перший випадок тільки вимагає заміни всіх сторін однаковим значенням і обліку того, що всі кути у трикутника рівні 60ordm-. Потім залишиться провести нескладні перетворення, які і приведуть до формул, даними в готовому вигляді трохи нижче.
Формула 1: відома сторона
У цій та наступних формулах прийняті стандартні позначення величин трикутника. Детальніше їх можна подивитися в запропонованій таблиці.
| величина | її позначення |
| сторона | а |
| площа | S |
| висота | н |
| радіуси кіл вписаною і описаної | r і R, відповідно |
Розрахунок площі трикутника в цьому випадку буде здійснюватися за формулою:
S = radic-3/4 * а2.
Вона легко виходить з тієї, яка відома для довільної фігури з трьома сторонами. Просто у формулі потрібно врахувати те, що всі сторони у трикутника рівні.
Якщо говорити більш точно, то буде потрібно формула Герона: S = radic- (p (p-a) (p-b) (p-c)). Значення напівпериметр для рівностороннього трикутника дорівнюватиме 3а / 2. Таким чином, в кожній дужці під коренем вийде вираз ((3а / 2) - а). Воно дасть після перетворення а / 2.
Так як дужок три, то у цього виразу з`явиться третя ступінь. А значить, воно перетвориться в а3/ 8.
Його ще потрібно помножити на напівпериметр, який визначається як сума сторін, розділена на 2. Вийде вираз: 3а4/ 16. Після вилучення квадратного кореня якраз і залишиться то вираз, що дано в першій формулі для площі рівностороннього трикутника.
Тому немає необхідності запам`ятовувати багато формул. Можна просто запам`ятати одну - Герона. З неї шляхом простих математичних перетворень виходять всі інші, наприклад, для рівностороннього трикутника.
Формула 2: дан радіус вписаного кола
Цей вислів дуже нагадує попередній запис. Але все ж є суттєві відмінності: використовується інша буква, ірраціональність пішла в знаменник, з`явився множник 3 і зникла цифра 4. Загалом, її легко запам`ятати.
S = 3radic-3 * r2.
Цю формулу теж легко отримати з тієї, яка дана для довільного трикутника. У ній радіус множиться на суму сторін і ділиться на 4. Оскільки сторони мають однакове значення, що сума заміниться на 3а. Тепер потрібно прибрати «а», щоб залишилося тільки значення радіуса. Для цього буде потрібно вираз, в якому сторона ділиться на твір 2 і синуса протилежного стороні кута. Так як кут дорівнює 60ordm-, то значення синуса буде radic-3/2. Тоді сторона виразиться через радіус так: а = radic-3R. Після нескладного перетворення можна прийти до того висловом для площі, яке дано спочатку.
Формула 3: дана описана окружність і її радіус
Вона дуже схожа на першу. Тільки в її чисельнику з`являється цифра 3 і змінилася буква на R.
S = 3radic-3/4 * R2.
Оскільки радіус в два рази більше того, який розглядався в попередньому пункті, то зрозуміло, як вона виходить. У ній просто замість r ставиться R / 2. І проводяться необхідні перетворення.
Тому формулу годі й запам`ятовувати. Тільки тримати в пам`яті співвідношення радіусів вписаного і описаного навколо рівностороннього трикутника кіл.
Формула 4: відома висота
У цьому випадку площа рівностороннього трикутника дорівнює:
S = н2 / radic-3.
Щоб зрозуміти, як виходить така формула, потрібно знову скористатися загальною для всіх трикутників. Вона виглядає як твір боку на висоту і на frac12-. Тепер, щоб дізнатися площа рівностороннього трикутника, доведеться згадати або вивести математичний вираз для висоти.
Її нескладно дізнатися, якщо скористатися тим фактом, що висота утворює прямокутний трикутник. Значить, висота може бути знайдена як катет - з теореми Піфагора. Другий катет буде дорівнює половині сторони, так як висота є ще і медіаною (це відоме властивість рівностороннього трикутника). Тоді висота буде визначатися як квадратний корінь з різниці двох квадратів. Перший «а», а другий «а / 2». Після зведення в другу ступінь і добування кореня залишається: н = (radic-3/2) * а. З нього а = 2н / radic-3. Після підстановки його в основну для всіх трикутників формулу вийде то вираз, яке зазначено на початку розділу.
приклад №1
Умова. Обчислити площу рівностороннього трикутника, якщо відомо, що його сторона має значення 4 см.
Рішення. Оскільки відомо значення сторін фігури, то необхідно користуватися першою формулою.
Спочатку потрібно звести в квадрат число 4. Від цього дії вийде число 16. Тепер воно скорочується з четвіркою, що стоїть в знаменнику. І в підсумку в чисельнику залишається 4 і radic-3, а знаменник стає рівним одиниці, значить, його можна просто не записувати. Це результат, який і було потрібно знайти в задачі.
відповідь: 4radic-3 см2.
приклад №2
Умова. Всі сторони рівностороннього трикутника рівні 2radic-2 дм. Обчислити його площу.
Рішення. Міркування такі ж, як в першому завданні. Тільки значення квадрата сторони буде іншим. У ньому потрібно окремо звести у другий ступінь 2 і ірраціональність. І результат буде таким: 4 * 2 = 8. Після скорочення зі знаменником залишається 2 і radic-3 в чисельнику дробу, а знаменник зникає.
відповідь: 2radic-3 дм2.
приклад №3
Умова. У рівносторонній трикутник вписане коло, її радіус 2,5 см. Необхідно обчислити площу трикутника.
Рішення. Для розрахунку шуканої величини буде потрібно скористатися другою формулою.
Спочатку значення радіуса потрібно звести в квадрат. Вийде 6,25. Потім це значення потрібно помножити на 3. Результатом цієї дії стане число 18,75. Але це ще не кінцеве значення: в ньому буде множник radic-3, який присутній в використовуваної формулою.
відповідь: 18,75radic-3 см2.
приклад №4
Умова. Потрібно визначити, чому дорівнює площа рівностороннього трикутника, якщо відома його висота - 3 дм.
Рішення. Природно, що вибрати потрібно четверту формулу. З її допомогою найпростіше знайти відповідь цього завдання.
Досить тільки звести в квадрат число 3, тобто висоту, що дасть значення 9. А потім розділити його на radic-3, що стоїть у формулі.
Оскільки в математиці не прийнято залишати ірраціональність в знаменнику відповіді, то від неї потрібно позбутися. Для цього дріб 9 / radic-3 потрібно помножити на дріб з однаковими чисельником і знаменником, а саме radic-3 / radic-3. Від цієї дії в чисельнику з`явиться значення 9radic-3, а в знаменнику з`явиться число 3.
Цю дріб можна і потрібно скоротити на 3. Це кінцевий результат.
відповідь: площа - 3radic-3 дм2.
приклад №5
Умова. Дан рівносторонній трикутник, площа якого дорівнює 27 см2. З цієї величині потрібно дізнатися довжину сторони фігури.
Рішення. Оскільки мова йде про стороні, то підійде перша формула. З неї можна відразу вивести математичний вираз, який дозволить визначити сторону трикутника.
Для цього площа потрібно помножити на 4 і розділити на квадратний корінь з трьох. Так вийде значення для боку в квадраті. Щоб отримати просто сторону, потрібно витягти корінь. Вираз для боку буде виглядати так: а = 2 * radic- (S / radic-3).
Так як площа відома, то можна відразу приступати до обчислень. Подкоренное вираз виглядає як приватна 27 і radic-3. Потрібно позбутися від ірраціональності в знаменнику. Вийде 27radic-3, розділене на 3. Після скорочення в знаменнику залишається 1, яку можна не писати, а в чисельнику залишається 9radic-3.
Наступним дією буде витяг кореня з отриманого виразу. Перший множник дає значення 3. А ось другий - radic-3 - вимагає до себе уваги. Щоб спростити завдання, можна витягти ці коріння і округлити значення.
radic-3 = 1,73- тепер з нього ще раз витягаємо корінь і отримуємо 1,32.
Залишилося тільки помножити його на 2 і отримати шуканий результат.
відповідь: сторона дорівнює 2,64 см.
