Як знайти об'єм куба: варіанти завдань та їх вирішення

Сучасні технології створюють дивовижні комп`ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в обсязі і покриття їх в різних напрямках, щоб краще роздивитися. Уява людини не завжди на це здатне. Мало хто може чітко уявити предмет і побачити його як би наскрізь. Але таке вміння можна спробувати сформувати при вирішенні завдань з геометрії. Наприклад, тих з них, в яких йдеться про те, як знайти об`єм куба. Це відмінна практика для розвитку просторової уяви.

як знайти об`єм куба

Куб або паралелепіпед?

Це непорожній питання. Тому що класифікація важлива. Адже куб - це особлива форма прямокутного паралелепіпеда.

Останній являє собою фігуру, в якій 6 граней, і всі вони прямокутники. Кути, під якими перетинаються всі ребра, 90ordm-. Відповідно, якщо ці межі стануть квадратами, то і вся фігура перетвориться в куб.

знайти об`єм куба

У прямокутного паралелепіпеда всі лінійні розміри, тобто висота, довжина і ширина, можуть істотно відрізнятися. У кубі ж вони завжди дорівнюють один одному. Це його відмітна ознака. Тому в задачах, які вимагають знайти об`єм куба, розглянутий момент неодмінно враховується. До речі, він істотно спрощує всі математичні записи і обчислення.

Умовні позначення в формулах і задачах

Без цього пункту буде складно зрозуміти, як записані формули. Що мається на увазі під кожною буквою і символом, підкаже наступна таблиця.

Позначення, прийняті в формулах
символНазва елемента
аребро фігури
ддіагональ грані
Ддіагональ куба
загальноприйняті в геометрії символиплоща
Об `єм

Як знайти елементи куба по його боці?

Оскільки грань фігури - це квадрат, то її площа визначиться за формулою №1, в якій відому величину потрібно звести в квадрат:

площа грані

А діагональ будь-якої грані обчислюється за формулою №2, в якій сторона множиться на корінь з 2:

діагональ грані

Попередня формула виходить з теореми Піфагора. Це легко зрозуміти, якщо побачити, що діагональ грані - це гіпотенуза прямокутного трикутника. А катетами його стають боку квадрата.

Щоб визначити діагональ куба, потрібна буде наступна формула №3, яка містить відому сторону і квадратний корінь з 3:

діагональ куба

Вона теж виходить з теореми Піфагора. Тільки в якості гіпотенузи виступає шукана діагональ. Катетами ж стають сторона квадрата і його діагональ.



Іноді потрібно знати формулу для обчислення площі бічної поверхні цієї фігури. У ній квадрат боку множиться на 4. Ось вона (№4):

площа бічної поверхні

Зрозуміти, як виходить ця формула, нескладно. Бічних граней - 4. А це означає, що їх загальна площа - учетверенное значення площі одного квадрата.

Якщо потрібно визначити площа всієї поверхні, то використовують цей запис, в якій ушестеряется квадрат ребра (формула №5):

площа поверх куба

Вона виходить аналогічно попередньої формули, тільки число квадратів збільшилася до 6.

як обчислити об`єм куба

Що таке обсяг?



Якщо говорити просто, то це місце, яке займає будь-яке тіло в просторі. Будь-який предмет обмежений в просторі поверхнями. Їх може бути кілька, але можливі випадки, коли тільки одна. Наприклад, якщо тіло - це куля. Але ці поверхні обов`язково замкнуті. Простір, який займає геометричне тіло, і буде його місткістю, або об`ємом.

Одиниці виміру обсягу

Коли мова йде про тверді тіла, то одиницями обсягу завжди будуть кубічні величини. Наприклад, метр, сантиметр або кілометр в кубі. Для рідин прийняті літри, які виражаються через кубічні дециметр. Але якщо вони займають дуже великі обсяги, то їх вимірюють також в кубічних метрах. Наприклад, при обліку витрати води в квартирі її вважають в м3. Так виходить зручніше і простіше в числовому вираженні.

Спосіб 1: дізнатися обсяг куба, якщо відома сторона

Це найпростіший з методів, який підкаже, як знайти об`єм куба. Він полягає в тому, щоб просто звести значення сторони в третю ступінь. Іншими словами, потрібно помножити сторону на себе три рази. За аналогією з довільним прямокутним параллелепипедом, коли потрібно було множити все його лінійні розміри. Формула буде записана так (№6):

обсяг куба по стороні

Спосіб 2: відома площа всієї поверхні

В цьому випадку потрібно буде розділити відому величину на 6. З проміжного відповіді витягти квадратний корінь і звести число в куб. Якщо записати це формулою, то вийде наступне (№7):

обсяг куба по площі його поверхні

Спосіб 3: дана діагональ грані куба

Для того щоб дізнатися, як обчислити об`єм куба, в цьому випадку потрібно виконати наступні дії. Спочатку звести відоме значення в куб, а потім помножити його на квадратний корінь з 2 і розділити на 4. Формула для цього завдання (№8):

обсяг куба по діагоналі грані

Це рівняння виходить таким чином: відому діагональ потрібно розділити на корінь з двох. Потім число звести в третю ступінь. Після виконання перетворень виходить в чисельнику куб діагоналі, а в знаменнику 2radic-2. Математика вимагає, щоб під рисою не було ірраціонального числа. Тому від нього позбавляються шляхом множення на radic-2. Тоді в чисельнику з`являється radic-2, а в знаменнику виходить 4.

креслення куба

Спосіб 4: по діагоналі куба

Формула, яка підкаже, як знайти об`єм куба, буде містити дії: зведення в квадрат діагоналі, множення її на корінь з 3 і розподіл усього на 9. Вона буде записана так (№9):

обсяг куба по його діагоналі

Аналогічно попередній формулі, в цьому записі спочатку діагональ ділиться на корінь з трьох і зводиться в куб. Після перетворень в знаменнику також з`являється ірраціональність, від якої потрібно йти. Так, в чисельнику виникає величина radic-3, а під рискою - 9.

приклади завдань

Завдання перше. Дан куб з ребром 12 см. Обчислити його обсяг і висловити відповідь в квадратних метрах.

У цьому завданні буде складніше перевести відповідь в інші одиниці, ніж вирішити, як знайти об`єм куба. Для виконання першої частини завдання буде потрібно формула, записана під номером 6. Після зведення в куб числа 12 вийде відповідь 1728 см3. Тепер потрібно згадати, як перевести їх в кубічні метри. Для цієї мети відповідь потрібно розділити на 100 три рази. Сотня з`явилася з того факту, що в одному метрі саме сто сантиметрів. А розподіл виконується тричі, тому що одиниці в завданні кубічні. Отже, +1728 розділене на 100 дасть 17,28. Після другого поділу вийде 0,1728. Третя дія дасть відповідь 0,001728 м3. Це і є відповідь завдання: обсяг куба дорівнює 0,001728 м3 .

Завдання друге. Є куб з площею всієї його поверхні, рівній 600 дм2. Знайти обсяг фігури і висловити його в кубічних метрах.

Для відповіді на питання цього завдання буде потрібна формула номер 7. Першою дією відоме число ділиться на 6. У відповіді виходить 100. З нього легко витягти квадратний корінь, він буде дорівнює 10. Тепер десятку потрібно звести в куб. Так виходить, що шукана величина дорівнює 1000 дм3. Залишилося перевести його в м3. Як і в попередній задачі, розподіл буде виконуватися три рази, тільки дільником буде 10. Тому що в одному метрі десять дециметрів. Після поділу виходить відповідь рівний 1 м3. Відповідь: обсяг дорівнює 1 м3.

геометрія

Завдання третє. Дан куб з довжиною діагоналі його грані, яка дорівнює radic-2 мм. Потрібно обчислити об`єм.

Восьма формула допоможе в тому, як знайти відповідь в цьому завданні. Насамперед потрібно звести в куб відому величину. Квадратний корінь з 2 в третього ступеня дасть значення 2radic-2. Після множення на radic-2 вийде число 4. Останньою дією потрібно його розділити на 4. Відповідь: обсяг куба 1 мм3.

Завдання четверта. Відомо, що діагональ куба дорівнює 3 м. Потрібно обчислити його обсяг.

Буде просто знайти відповідь на це завдання по формулі під номером 9. Величину, яка дана в умови, потрібно звести в куб. Вийде 27. Після його поділу на 9 відповідь стане дорівнює 3. І останньою дією його потрібно помножити на квадратний корінь з 3. Відповіддю завдання буде 3radic-3 м3.



Увага, тільки СЬОГОДНІ!

Увага, тільки СЬОГОДНІ!