Часто учні обурено запитують: «Як мені в житті це стане в нагоді?». На будь-яку тему кожного предмета. Чи не стає винятком і тема про обсяг паралелепіпеда. І ось тут якраз можна сказати: «Пригадується».
Як, наприклад, дізнатися, чи поміститься в поштову коробку посилка? Звичайно, можна методом проб і помилок вибрати відповідну. А якщо такої можливості немає? Тоді на виручку прийдуть обчислення. Знаючи місткість коробки, можна розрахувати обсяг посилки (хоча б приблизно) і відповісти на поставлене запитання.
Паралелепіпед і його види
Якщо дослівно перекласти його назву з давньогрецької, то вийде, що це фігура, що складається з паралельних площин. Існують такі рівносильні визначення паралелепіпеда:
- призма з основою у вигляді паралелограма;
- багатогранник, кожна грань якого - паралелограм.
Його види виділяються в залежності від того, яка фігура лежить в його основі і як спрямовані бічні ребра. У загальному випадку говорять про похилому параллелепипеде, у якого основа і всі грані - паралелограми. Якщо у попереднього виду бічні грані стануть прямокутниками, то його потрібно буде називати вже прямим. А у прямокутного і підстава теж має кути по 90ordm-.
Причому останній в геометрії намагаються зображати так, щоб було помітно, що всі ребра паралельні. Тут, до речі, спостерігається основна відмінність математиків від художників. Останнім важливо передати тіло з дотриманням закону перспективи. І в цьому випадку паралельність ребер зовсім непомітна.
Про введених позначеннях
У наведених нижче формулах справедливі позначення, зазначені в таблиці.
| величина | її позначення |
| довжини ребер підстави | а, в |
| довжина бічного ребра | з |
| висота | н |
| площа підстави | Sпро |
| площа бічної поверхні | Sб |
| площа всієї поверхні | Sп |
| периметр підстави | Рпро |
| Об `єм | V |
Формули для похилого паралелепіпеда
Перша і друга для площ:
Третя для того, щоб обчислити об`єм паралелепіпеда:
Так як підстава - паралелограм, то для розрахунку його площі потрібно буде скористатися відповідними виразами.
Формули для прямокутного паралелепіпеда
Аналогічно першому пункту - дві формули для площ:
І ще одна для обсягу:
перше завдання
Умова. Дан прямокутний паралелепіпед, обсяг якого потрібно знайти. Відома діагональ - 18 см - і то, що вона утворює кути в 30 і 45 градусів з площиною бічної грані і бічним ребром відповідно.
Рішення. Щоб відповісти на питання завдання, потрібно дізнатися все боку в трьох прямокутних трикутниках. Вони дадуть необхідні значення ребер, за якими потрібно порахувати обсяг.
Спочатку потрібно з`ясувати, де знаходиться кут в 30ordm-. Для цього потрібно провести діагональ бічної грані з тієї ж вершини, звідки характеристика основних діагональ паралелограма. Кут між ними і буде тим, що потрібен.
Перший трикутник, який дасть одне зі значень сторін підстави, буде наступним. У ньому містяться шукана сторона і дві проведені діагоналі. Він прямокутний. Тепер потрібно скористатися ставленням протилежного катета (сторони підстави) і гіпотенузи (діагоналі). Воно дорівнює синусу 30ordm-. Тобто невідома сторона підстави буде визначатися як діагональ, помножена на синус 30ordm- або frac12-. Нехай вона буде позначена буквою «а».
Це легко порахувати: а = 18 * frac12- = 9 (см).
Другим буде трикутник, який містить відому діагональ і ребро, з яким вона утворює 45ordm-. Він теж прямокутний, і можна знову скористатися ставленням катета до гіпотенузи. Іншими словами, бічного ребра до діагоналі. Воно дорівнює косинусу 45ordm-. Тобто «с» обчислюється як твір діагоналі на косинус 45ordm-.
з = 18 * 1 / radic-2 = 9 radic-2 (см).
У цьому ж трикутнику потрібно знайти інший катет. Це необхідно для того, щоб потім порахувати третю невідому - «в». Нехай вона буде позначена буквою «х». Її легко обчислити по теоремі Піфагора:
х = radic- (182 - (9radic-2)2) = 9radic-2 (см).
Тепер потрібно розглянути ще один прямокутний трикутник. Він містить вже відомі боку «с», «х» і ту, що потрібно порахувати, «в»:
в = radic - ((9radic-2)2 - 92 = 9 (см).
Всі три величини відомі. Можна скористатися формулою для обсягу і порахувати його:
V = 9 * 9 * 9radic-2 = 729radic-2 (див3).
відповідь: обсяг паралелепіпеда дорівнює 729radic-2 см3.
Друге завдання
Умова. Потрібно знайти об`єм паралелепіпеда. У ньому відомі сторони паралелограма, який лежить в основі, 3 і 6 см, а також його гострий кут - 45ordm-. Бічне ребро має нахил до основи в 30ordm- і дорівнює 4 см.
Рішення. Для відповіді на питання завдання потрібно взяти формулу, яка була записана для обсягу похилого паралелепіпеда. Але в ній невідомі обидві величини.
Площа підстави, тобто паралелограма, буде визначена за формулою, в якій потрібно перемножити відомі боку і синус гострого кута між ними.
Sпро = 3 * 6 sin 45ordm- = 18 * (radic-2) / 2 = 9 radic-2 (див2).
Друга невідома величина - це висота. Її можна провести з будь-якої з чотирьох вершин над підставою. Її знайти можна з прямокутного трикутника, в якому висота є катетом, а бічне ребро - гіпотенузою. При цьому кут в 30ordm- лежить навпроти невідомої висоти. Значить, можна скористатися ставленням катета до гіпотенузи.
н = 4 * sin 30ordm- = 4 * 1/2 = 2.
Тепер все значення відомі і можна обчислити об`єм:
V = 9 radic-2 * 2 = 18 radic-2 (див3).
відповідь: обсяг дорівнює 18 radic-2 см3.
третє завдання
Умова. Знайти обсяг паралелепіпеда, якщо відомо, що він прямий. Сторони його заснування утворюють паралелограм і рівні 2 і 3 см. Гострий кут між ними 60ordm-. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі підстави.
Рішення. Для того щоб дізнатися обсяг паралелепіпеда, скористаємося формулою з площею основи і висотою. Обидві величини невідомі, але їх нескладно вирахувати. Перша з них висота.
Оскільки менша діагональ паралелепіпеда збігається з розміром з більшої підстави, то їх можна позначити однією буквою d. Більший кут паралелограма дорівнює 120ordm-, оскільки з гострим він утворює 180ordm-. Нехай друга діагональ підстави буде позначена буквою «х». Тепер для двох діагоналей підстави можна записати теореми косинусів:
d2 = а2 + в2 - 2АВ cos 120ordm-,
х2 = а2 + в2 - 2АВ cos 60ordm-.
Знаходити значення без квадратів не має сенсу, так як потім вони будуть знову зведені до другого степеня. Після підстановки даних виходить:
d2 = 22 + 32 - 2 * 2 * 3 cos 120ordm- = 4 + 9 + 12 * frac12- = 19,
х2 = а2 + в2 - 2АВ cos 60ordm- = 4 + 9 - 12 * frac12- = 7.
Тепер висота, вона ж бічне ребро паралелепіпеда, виявиться катетом в трикутнику. Гіпотенузою буде відома діагональ тіла, а другим катетом - «х». Можна записати Теорему Піфагора:
н2 = d2 - х2 = 19 - 7 = 12.
Звідси: н = radic-12 = 2radic-3 (див).
Тепер друга невідома величина - площа підстави. Її можна порахувати за формулою, згаданої в другій задачі.
Sпро = 2 * 3 sin 60ordm- = 6 * radic-3/2 = 3radic-3 (див2).
Об`єднавши всі в формулу обсягу, отримуємо:
V = 3radic-3 * 2radic-3 = 18 (см3).
Відповідь: V = 18 см3.
Четверте завдання
Умова. Потрібно дізнатися обсяг паралелепіпеда, що відповідає таким умовам: підстава - квадрат зі стороною 5 см-бічні грані є ромбамі- одна з вершин, що знаходяться над підставою, рівновіддалена від усіх вершин, що лежать в основі.
Рішення. Спочатку потрібно розібратися з умовою. З першим пунктом про квадрат питань немає. Другий, про ромби, дає зрозуміти, що паралелепіпед похилий. Причому всі його ребра рівні 5 см, оскільки сторони у ромба однакові. А з третього стає ясно, що три діагоналі, проведені з неї, рівні. Це дві, які лежать на бічних гранях, а остання всередині паралелепіпеда. І ці діагоналі рівні ребру, тобто теж мають довжину 5 см.
Для визначення обсягу буде потрібна формула, записана для похилого паралелепіпеда. У ній знову немає відомих величин. Однак площа підстави обчислити легко, тому що це квадрат.
Sпро = 52 = 25 (см2).
Трохи складніше йде справа з висотою. Вона буде такою в трьох формах: параллелепипеде, чотирикутної піраміді і трикутник. Останньою обставиною і потрібно скористатися.
Оскільки вона висота, то є катетом в прямокутному трикутнику. Гіпотенузою в ньому буде відоме ребро, а другий катет дорівнює половині діагоналі квадрата (висота - вона ж і медіана). А діагональ підстави знайти просто:
d = radic- (2 * 52) = 5radic-2 (см).
Висоту потрібно буде порахувати як різниця другого ступеня ребра і квадрата половини діагоналі і не забути потім витягти квадратний корінь:
н = radic- (52 - (5/2 * radic-2)2) = radic- (25 - 25/2) = radic- (25/2) = 2,5 radic-2 (см).
Залишилося порахувати обсяг:
V = 25 * 2,5 radic-2 = 62,5 radic-2 (див3).
відповідь: 62,5 radic-2 (див3).
