Перш ніж почати вивчати поняття кулі, що таке об`єм кулі, розглядати формули обчислення його параметрів, необхідно згадати про поняття кола, що вивчається раніше в курсі геометрії. Адже більшість дій в тривимірному просторі аналогічні або випливають з двовимірної геометрії з поправкою на появу третьої координати і третього ступеня.
Що таке коло?
Коло - це фігура на декартовій площині (зображена на малюнку 1) - найбільш часто визначення звучить як «геометричне місце всіх точок на площині, відстань від яких до заданої точки (центру) не перевищує якогось невід`ємного числа, званого радіусом».
Як бачимо з рисунку, точка О - це центр фігури, а безліч всіх точок, що заповнюють коло, наприклад, А, В, С, К, Е, знаходяться не далі заданого радіуса (не виходять за межі кола, зображеної на рис . 2).
Якщо радіус дорівнює нулю, то коло перетворюється в точку.
Проблеми з розумінням
Учні часто плутають ці поняття. Легко запам`ятати, провівши аналогію. Обруч, який діти крутять на уроках фізичної культури, - окружність. Розуміючи це або запам`ятавши, що перші літери обох слів - "О", діти мнемонічно будуть розуміти різницю.
Введення поняття «кулю»
Куля - це тіло (рис. 3), обмежене певною сферичною поверхнею. Що за «сферична поверхня», стане ясно з її визначення: це геометричне місце всіх точок на поверхні, відстань від яких до заданої точки (центру) не перевищує якогось невід`ємного числа, званого радіусом. Як бачимо, поняття кола і сферичної поверхні аналогічні, тільки різняться простору, в яких вони знаходяться. Якщо зобразити кулю в двовимірному просторі, ми отримуємо коло, межею якого є коло (у кулі межа - сферична поверхня). На малюнку ми бачимо сферичну поверхню з радіусами ОА = ОВ.
Куля замкнутий і відкритий
У векторному і метричному просторах також розглядаються два поняття, пов`язані зі сферичною поверхнею. Якщо куля включає цю сферу в себе, то він називається замкнутим, а якщо ж ні, то в такому випадку куля є відкритим. Це більш "просунуті" поняття, їх вивчають в університетах при введенні в аналіз. Для простого, навіть побутового використання буде досить і тих формул, які вивчаються в курсі стереометрії 10-11 класів. Саме такі, доступні практично кожному середньостатистичному освіченій людині поняття будуть розглянуті далі.
Поняття, які потрібно знати для наступних обчислень
- Радіус і діаметр.
- Радіус кулі і його діаметр визначаються так само, як у кола.
- Радіус - відрізок, що з`єднує будь-яку точку на кордоні кулі і точку, яка є центром кулі.
- Діаметр - відрізок, що з`єднує дві точки на кордоні кулі і проходить через його центр. Рисунки 5 наочно демонструє, які відрізки є радіусами кулі, а на малюнку 5б зображені діаметри сфери (відрізки, що проходять через точку О).
Перетину в сфері (кулі)
Будь-яке перетин сфери є кругом. Якщо воно проходить через центр кулі, то називається великим колом (коло з діаметром АВ), решта перетину - малими колами (окружність з діаметром DC).
Площа даних кіл обчислюється за такими формулами:
Тут S - це позначення площі, R - радіуса, D - діаметру. Також присутній константа, рівна 3,14. Але не варто плутати, що для обчислення площі великого кола використовують радіус або діаметр самої кулі (сфери), а для визначення площі потрібні розміри радіуса саме малого кола.
Таких перетинів, які проходять через дві точки одного діаметра, що лежать на кордоні кулі, можна провести незліченну кількість. Як приклад - наша планета: дві точки на Північному і Південному полюсах, які є кінцями земної осі, а в геометричному сенсі - кінцями діаметру, і меридіани, які проходять через ці дві точки (рисунок 7). Тобто число великих кіл у сфери за кількістю прямує до нескінченності.
частини кулі
Якщо відсікти від сфери за допомогою деякої площини «шматочок» (малюнок 8), то він буде називатися сферичним або кульовим сегментом. У нього буде висота - перпендикуляр з центру січної площини до сферичної поверхні Про1К. Точка К на сферичної поверхні, в яку приходить висота, називається вершиною сферичного сегмента. А мале коло з радіусом Про1Т (в даному випадку, згідно з малюнком, площина не пройшла через центр сфери, але якщо перетин буде проходити через центр, то коло перетину буде великим), утворений при відсіканні кульового сегмента, буде називатися основою нашого шматочка кулі - сферичного сегмента.
Якщо з`єднати кожну точку підстави сферичного сегмента з центром сфери, ми отримаємо фігуру під назвою "кульової сектор".
Якщо через сферу проходять дві площини, які між собою паралельні, то та частина сфери, яка укладена між ними, називається кульовим шаром (рисунок 9, де зображена сфера з двома площинами і окремо - кульовий шар).
Поверхня (виділена частина на малюнку 9 праворуч) цієї частини сфери називається поясом (знову для кращого розуміння можна провести аналогію з земною кулею, а саме з його кліматичними поясами - арктичними, тропічними, помірними і т. Д.), А кола перетину будуть підставами кульового шару. Висота шару - частина діаметра, проведеного перпендикулярно до січним площинах з центрів підстав. Існує також поняття кульової сфери. Вона утворюється в тому випадку, коли площини, які паралельні один одному, не перетинають сферу, а стосуються її в одній точці кожна.
Формули обчислення обсягу кулі і площі його поверхні
Куля утворюється при обертанні навколо нерухомого діаметра півкола або кола. Для обчислень різних параметрів даного об`єкта знадобиться не так вже й багато даних.
Обсяг кулі, формула для обчислення якого вказана вище, виведений за допомогою інтегрування. Розберемося по пунктам.
Розглядаємо коло в двовимірної площині, адже, як було сказано вище, саме коло лежить в основі побудови кулі. Використовуємо лише його четверту частину (малюнок 10).
Беремо коло з одиничним радіусом і центром на початку координат. Рівняння такого кола виглядає наступним чином: Х2 + У2 = R2. Висловлюємо звідси У: У2 = R2 - Х2.
Обов`язково відзначимо, що отримана функція невід`ємна, безперервна і спадна на відрізку Х (0- R), адже значення Х в тому випадку, коли ми розглядаємо чверть кола, лежить від нуля до значення радіуса, тобто до одиниці.
Наступне, що ми робимо, це обертаємо нашу чверть кола навколо осі абсцис. В результаті ми отримаємо полушар. Щоб визначити його обсяг, вдамося до методів інтегрування.
Так як це обсяг лише напівкулі, збільшуємо результат в два рази, звідки отримуємо, що об`єм кулі дорівнює:
дрібні нюанси
Якщо необхідно знайти об`єм кулі через його діаметр, пам`ятаємо про те, що радіус - це половина діаметру, і підставляємо це значення в вищевказану формулу.
Також до формули обсягу кулі можна дійти через площу його межує поверхні - сфери. Нагадаємо, що площа сфери обчислюється за формулою S = 4pi-r2, проинтегрировав яку, також прийдемо до вищевказаної формулою обсягу кулі. З цих же формул можна виразити радіус, якщо в умові завдання є значення обсягу.
