На просте запитання «Як знайти висоту трапеції?» Існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути надані різні вихідні величини. Тому і формули будуть відрізнятися.
Ці формули можна запам`ятати, але вони нескладно виводяться. Потрібно тільки застосовувати раніше вивчені теореми.
Прийняті в формулах позначення
У всіх наведених нижче математичних записах вірні такі прочитання літер.
довільна трапеція | рівнобедрена трапеція | назва |
а | а | нижня частина |
в | в | верхнє підставу |
с, d | з | бічні сторони |
н | н | висота |
m | m | середня лінія |
d1, d2 | d1 | діагоналі |
s | s | площа |
alpha-, beta- | alpha- | кути при нижньому підставі |
gamma-, delta- | gamma-, delta- | кути на перетині діагоналей |
У вихідних даних: всі сторони
Для того щоб знайти висоту трапеції в загальному випадку потрібно скористатися такою формулою:
н = radic- (з2 - (((А - в)2 + з2 - d2) / (2 (а - в)))2). Номер 1.
Найкоротша, але і зустрічається в завданнях досить рідко. Зазвичай можна скористатися іншими даними.
Формула, яка підкаже, як знайти висоту рівнобедреної трапеції в тій же ситуації, набагато коротше:
н = radic- (з2 - (А - в)2/ 4). Номер 2.
У задачі дано: бічні сторони і кути при нижньому підставі
Приймають, що кут alpha- прилягає до бічної сторони з позначенням «с», відповідно кут beta- до сторони d. Тоді формула для того, як знайти висоту трапеції, в загальному вигляді буде такою:
н = з * sin alpha- = d * sin beta-. Номер 3.
Якщо фігура рівнобедрена, то можна скористатися таким варіантом:
н = з * sin alpha- = ((а - в) / 2) * tg alpha-. Номер 4.
Відомі: діагоналі і кути між ними
Зазвичай до цих даних приєднуються ще відомі величини. Наприклад, підстави або середня лінія. Якщо дані підстави, то для відповіді на питання, як знайти висоту трапеції, стане в нагоді така формула:
н = (d1* d2 * sin gamma-) / (а + в) або н = (d1* d2 * sin delta-) / (а + в). Номер 5.
Це для загального вигляду фігури. Якщо дана рівнобедрена, то запис перетвориться так:
н = (d12 * sin gamma-) / (а + в) або н = (d12 * sin delta-) / (а + в). Номер 6.
Коли в задачі йдеться про середньої лінії трапеції, то формули для пошуку її висоти стають такими:
н = (d1* d2 * sin gamma-) / 2m або н = (d1* d2 * sin delta-) / 2m. Номер 5а.
н = (d12 * sin gamma-) / 2m або н = (d12 * sin delta-) / 2m. Номер 6а.
Серед відомих величин: площа з підставами або середньою лінією
Це, мабуть, самі короткі і прості формули того, як знайти висоту трапеції. Для довільної фігури вона буде такою:
н = 2S / (а + в). Номер 7.
Вона ж, але з певною середньою лінією:
н = S / m. Номер 7а.
Як не дивно, але для рівнобедреної трапеції формули будуть виглядати так само.
завдання
№1. На визначення кутів при нижньому підставі трапеції.
Умова. Дана рівнобедрена трапеція, бічна сторона якої 5 см. Її основи дорівнюють 6 і 12 см. Потрібно знайти синус гострого кута.
Рішення. Для зручності слід ввести позначення. Нехай ліва нижня вершина буде А, всі інші за годинниковою стрілкою: В, С, Д. Таким чином, нижня частина буде позначено АТ, верхнє - ВС.
Потрібно провести висоти з вершин В і С. Точки, які вкажуть кінці висот будуть позначені Н1 і Н2, відповідно. Оскільки в фігурі ВСН1Н2 всі кути прямі, то вона є прямокутником. Це означає, що відрізок Н1Н2 дорівнює 6 см.
Тепер потрібно розглянути два трикутника. Вони рівні, так як є прямокутними з однаковими гіпотенузи і вертикальними катетами. Звідси випливає, що і менші катети у них рівні. Тому їх можна визначити як частка від різниці. Остання вийде від вирахування з нижньої основи верхнього. Ділитися воно буде на 2. Тобто 12 - 6 потрібно поділити на 2. АН1 = Н2Д = 3 (див).
Тепер з теореми Піфагора потрібно знайти висоту трапеції. Вона необхідна для знаходження синуса кута. ВН1 = radic- (52 - 32) = 4 (см).
Скориставшись знанням про те, як знаходиться синус гострого кута в трикутнику з прямим кутом, можна записати такий вислів: sin alpha- = ВН1 / АВ = 0,8.
Відповідь. Шуканий синус дорівнює 0,8.
№2. На знаходження висоти трапеції за відомим тангенсу.
Умова. У рівнобедреної трапеції потрібно обчислити висоту. Відомо, що її основи дорівнюють 15 і 28 см. Дан тангенс гострого кута: 11/13.
Рішення. Позначення вершин таке ж, як в попередній задачі. Знову потрібно провести дві висоти з верхніх кутів. За аналогією з рішенням першого завдання потрібно знайти АН1 = Н2Д, які визначаться як різниця 28 і 15, поділена на два. Після підрахунків виходить: 6,5 см.
Оскільки тангенс - це відношення двох катетів, то можна записати таке рівність: tg alpha- = АН1 / ВН1. Причому цей показник одно 11/13 (за умовою). Так як АН1 відомий, то можна обчислити висоту: ВН1= (11 * 6,5) / 13. Прості розрахунки дають результат в 5,5 см.
Відповідь. Шукана висота дорівнює 5,5 см.
№3. На обчислення висоти по відомим діагоналям.
Умова. Про трапеції відомо, що її діагоналі рівні 13 і 3 см. Потрібно дізнатися її висоту, якщо сума підстав становить 14 см.
Рішення. Нехай позначення фігури буде таким же, як раніше. Припустимо, що АС - менша діагональ. З вершини З потрібно провести шукану висоту і позначити її СН.
Тепер потрібно виконати додаткове побудова. З кута С потрібно провести пряму, паралельну більшої діагоналі і знайти точку її перетину з продовженням боку АТ. Це буде Д1. Вийшла нова трапеція, всередині якої накреслено трикутник АСД1. Саме він і потрібен для подальшого вирішення завдання.
Шукана висота виявиться ще і їй же в трикутнику. Тому можна скористатися формулами, вивченими в іншій темі. Висота трикутника визначається як добуток числа 2 і площі, поділене на сторону, до якої вона проведена. А сторона виявляється дорівнює сумі підстав вихідної трапеції. Це виходить з правила, до якої здійснено додаткове побудова.
В даному трикутнику всі сторони відомі. Для зручності введемо позначення х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.
Тепер можна порахувати площу, скориставшись теоремою Герона. Напівпериметр буде дорівнює р = (х + у + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тоді формула для площі після підстановки значень буде виглядати так: S = radic- (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 radic-10 (див2).
Тепер потрібно порахувати висоту: н = (2 * 6 radic-10) / 14 = 6radic-10/7 (см).
Відповідь. Висота дорівнює 6radic-10/7 см.
№4. Для пошуку висоти по сторонам.
Умова. Дана трапеція, три сторони якої рівні 10 см, а четверта 24 см. Потрібно дізнатися її висоту.
Рішення. Оскільки фігура рівнобедрена, то буде потрібно формула під номером 2. У неї потрібно просто підставити всі значення і порахувати. Це буде виглядати так:
н = radic- (102 - (10 - 24)2/ 4) = radic-51 (см).
Відповідь. н = radic-51 см.