Не всі школярі, а тим більше дорослі, знають, що теорема косинусів безпосередньо пов`язана з теоремою Піфагора. Точніше сказати, остання є окремим випадком першої. Цей момент, а також два способи доведення теореми косинусів допоможуть стати більш знаючим людиною. До того ж практика в вираженні величин з вихідних виразів добре розвиває логічне мислення. Довга формула досліджуваної теореми обов`язково змусить потрудитися і посовершенствоваться.
Початок розмови: введення позначень
Ця теорема формулюється і доводиться для довільного трикутника. Тому нею можна скористатися завжди, в будь-якій ситуації, якщо дано дві сторони, а в деяких випадках три, і кут, причому необов`язково між ними. Яким би не був вид трикутника, теорема спрацює завжди.
А тепер про позначення величин у всіх виразах. Краще відразу домовитися, щоб потім кілька разів не пояснювати. Для цього складена наступна таблиця.
| елемент трикутника | його позначення |
| Невідома сторона | а |
| Дві інші сторони | в, з |
| Кут, що лежить навпроти невідомої сторони | А |
| Кути, які лежать проти інших сторін | В, С |
| Висота з вершини трикутника | н |
Формулювання і математична запис
Отже, формулюється теорема косинусів наступним чином:
Квадрат сторони будь-якого трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих же сторін на косинус кута, лежачого між ними.
Звичайно, воно довге, але якщо зрозуміти його суть, то запам`ятати буде просто. Можна навіть уявляти собі креслення трикутника. Наочно завжди простіше запам`ятовувати.
Формула ж цієї теореми буде виглядати так:
а2 = в2 + з2 - 2 * в * с * cos А.
Трохи довго, але все логічно. Якщо трохи уважніше подивитися, то можна побачити, що букви повторюються, отже, і запам`ятати її нескладно.
Поширена доказ теореми
Оскільки вона справедлива для всіх трикутників, то можна вибрати для міркувань будь-який з видів. Нехай це буде фігура з усіма гострими кутами. Розглянемо довільний гострокутний трикутник, у якого кут С більше, ніж кут В. З вершини з цим великим кутом потрібно опустити перпендикуляр на протилежну сторону. Проведена висота розділить трикутник на два прямокутних. Це потрібно для доказу.
Сторона виявиться розділеною на два відрізки: х, у. Їх потрібно висловити через відомі величини. Та частина, яка виявиться в трикутнику з гіпотенузою, що дорівнює в, виразиться через запис:
х = в * cos А.
Інша буде дорівнює такій різниці:
у = с - в * cos А.
Тепер потрібно записати теорему Піфагора для двох одержані в результаті побудови прямокутних трикутників, приймаючи за невідому величину висоту. Ці формули будуть виглядати так:
н2 = в2 - (В * cos А)2,
н2 = а2 - (С - в * cos А)2.
У цих равенствах стоять однакові вирази зліва. Значить, їх праві частини теж будуть рівні. Це просто записати. Тепер потрібно розкрити дужки:
в2 - в2 * (Cos А)2 = а2 - з2 + 2 з * в * cos А - в2 * (Cos А)2.
Якщо тут виконати перенос і приведення подібних доданків, то вийде початкова формула, яка записана після формулювання, тобто теорема косинусів. Доказ закінчено.
Доказ теореми через вектори
Воно набагато коротшим від попереднього. І якщо знати властивості векторів, то теорема косинусів для трикутника буде доведена просто.
Якщо сторони а, в, з позначити відповідно векторами ВС, АС і АВ, то справедливо рівність:
ВС = АС - АВ.
Тепер потрібно виконати деякі дії. Перше з них - це зведення в квадрат обох частин рівності:
ВС2 = АС2 + АВ2 - 2 АС * АВ.
Потім рівність потрібно переписати в скалярному вигляді, з огляду на те, що твір векторів дорівнює косинусу кута між ними на їх скалярні значення:
ВС2 = АС2 + АВ2 - 2 АС * АВ * cos А.
Залишилося тільки повернутися до старих позначенням, і знову вийде теорема косинусів:
а2 = в2 + з2 - 2 * в * с * cos А.
Формули для інших сторін і всіх кутів
Щоб знайти сторону, з теореми косинусів потрібно витягти квадратний корінь. Формула для квадратів однієї з інших сторін буде виглядати так:
з2 = а2 + в2 - 2 * а * в * cos C.
Щоб записати вираз для квадрата сторони в, потрібно в попередньому рівність замінити з на в, і навпаки, і під косинусом поставити кут В.
З основної формули теореми можна виразити значення косинуса кута А:
cos А = (в2 + з2 - а2) / (2 в * с).
Аналогічно виводяться формули для інших кутів. Це хороша практика, тому можна спробувати написати їх самостійно.
Природно, що запам`ятовувати ці формули немає необхідності. Досить розуміння теореми і вміння вивести ці вирази з її основних даних.
Вихідна формула теореми дає можливість знайти сторону, якщо кут лежить не між двома відомими. Наприклад, потрібно знайти в, коли дані величини: а, з, А. або невідома з, зате є значення а, в, А.
У цій ситуації потрібно перенести всі складові формули в ліву сторону. Вийде така рівність:
з2 - 2 * в * с * cos А + в2 - а2 = 0.
Перепишемо його трохи в іншому вигляді:
з2 - (2 * в * cos А) * з + (в2 - а2) = 0.
Можна легко побачити квадратне рівняння. У ньому невідома величина - з, а всі інші дані. Тому його досить вирішити за допомогою дискримінанту. Так буде знайдена невідома сторона.
Аналогічно виходить формула для другої сторони:
в2 - (2 * с * cos А) * в + (з2 - а2) = 0.
З інших виразів такі формули теж легко отримати самостійно.
Як без обчислення косинуса дізнатися вид кута?
Якщо уважно подивитися на формулу косинуса кута, виведену раніше, то можна помітити наступне:
- знаменник дробу - завжди позитивне число, тому що в ньому стоїть твір сторін, які не можуть бути негативними;
- значення кута буде залежати від знака чисельника.
Кут А буде:
- гострим в ситуації, коли чисельник більше нуля;
- тупим, якщо цей вислів негативне;
- прямим при його рівність нулю.
До речі, остання ситуація звертає теорему косинусів в теорему Піфагора. Тому що для кута в 90ordm- його косинус дорівнює нулю, і останній доданок зникає.
перше завдання
Умова
Тупий кут деякого довільного трикутника дорівнює 120ordm-. Про сторонах, якими він обмежений, відомо, що одна з них більша за іншу на 8 см. Відома довжина третьої сторони, це 28 см. Потрібно знайти периметр трикутника.
Рішення
Спочатку потрібно позначити одну зі сторін буквою «х». В такому випадку інша буде дорівнює (х + 8). Оскільки є вираження для всіх трьох сторін, можна скористатися формулою, яку дає теорема косинусів:
282 = (Х + 8)2 + х2 - 2 * (х + 8) * х * cos 120ordm-.
У таблицях для косинусів потрібно знайти значення, відповідне 120 градусам. Це буде число 0,5 зі знаком мінус. Тепер належить розкрити дужки, дотримуючись усіх правил, і привести подібні доданки:
784 = х2 + 16х + 64 + х2 - 2х * (-0,5) * (х + 8);
784 = 2х2 + 16х + 64 + х2 + 8х;
3х2 + 24х - 720 = 0.
Це квадратне рівняння вирішується через знаходження дискримінанту, який буде дорівнює:
Д = 242 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Оскільки його значення більше нуля, то рівняння має два відповіді-кореня.
х1 = ((-24) + radic- (9216)) / (2 * 3) = 12;
х2 = ((-24) - radic- (9216)) / (2 * 3) = -20.
Останній корінь не може бути відповіддю завдання, тому що сторона обов`язково повинна бути позитивною.
Отже, дві сторони відомі. Легко знайти третю: 12 + 8 = 20 (см). Тепер можна відповісти на питання завдання. Периметр трикутника визначається як сума всіх сторін:
24 + 12 + 20 = 60 (см).
відповідь: Периметр дорівнює 60 сантиметрам.
завдання №2
Умова
У трикутнику відомі: з, рівне 2 см- а, яке становить 10 см-кут З величиною 120ordm-. Потрібно знайти сторону в.
Рішення
Для початку потрібно скористатися теоремою косинусів і вивести з неї формулу квадратного рівняння, в якій невідомої буде величина в:
з2 = а2 + в2 - 2 * а * в * cos C
і
в2 - (2 * а * cos С) * в + (а2 - з2) = 0.
У неї потрібно підставити всі відомі в умови величини:
в2 - (2 * 10 * cos 120ordm-) * в + (102 - 22) = 0.
Тепер потрібно порахувати те, що можливо, щоб спростити вираз:
в2 - (20 * (-1/2)) * в + (100 - 4) = 0
або
в2 + 10 * в - 96 = 0.
Це стандартне квадратне рівняння, яке потрібно вирішити через знаходження дискримінанту:
Д = (10)2 - 4 * 1 * (-96) = 484.
За формулами потрібно зробити обчислення для невідомої сторони:
в1 = (- 10 + 22) / 2 = 6 (см);
в2 = (- 10 - 22) / 2 = - 16 - цей корінь не задовольняє вирішення завдання, тому що сторона не може бути негативною.
відповідь: невідома сторона дорівнює 6 см.
третє завдання
Умова
В деякому трикутнику дано боку: а, в, з, які відповідно рівні 6 см, 10 см і 8 см. Потрібно обчислити кут А.
Рішення
Знову потрібно скористатися теоремою косинусів. Використовується та її запис, в якій є косинус кута А, оскільки саме його необхідно обчислити. Ось написана відразу формула для косинуса невідомого кута:
cos А = (в2 + з2 - а2) / (2 в * с).
Залишилося підставити значення сторін і виконати всі обчислення:
cos А = (102 + 82 - 62) / (2 * 8 * 10).
Після зведення всіх доданків в квадрат і множення чисел з знаменника:
cos А = (100 + 64 - 36) / (160).
Після складання і розподілу виходить:
cos А = 128/160 = 0,8.
Тепер потрібно скористатися таблицею Брадіса, щоб дізнатися, чому дорівнює кут А. Найближче значення кута для цього косинуса становить 36ordm-54 `.
Відповідь: значення кута А одно 36ordm-54 `.
