Математика - шкільний предмет, який вивчається усіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма улюблена. Часом незаслужено. Ця наука постійно підкидає учням завдання, які дозволяють їх мозку розвиватися. Математика відмінно справляється з тим, щоб не дати розумовим можливостям дітей згаснути. Особливо добре з цим справляється один з її розділів - геометрія.
Будь-яка з тим, які в ній вивчаються, варта уваги і поваги. Геометрія - це спосіб розвинути просторову уяву. Прикладом може служити тема про площі фігур, зокрема ромбів. Ці завдання можуть завести в глухий кут, якщо не розібратися в деталях. Тому що можливі різні підходи до пошуку відповіді. Комусь простіше запам`ятати різні варіанти формул, які написані нижче, а хтось здатний сам їх отримати з раніше засвоєного матеріалу. У будь-якому випадку безвихідних ситуацій не буває. Якщо трохи подумати, то рішення обов`язково знайдеться.
Що таке ромб і чим він схожий на інші чотирикутники?
Відповісти на це питання потрібно, щоб зрозуміти принципи отримання формул і хід міркування в задачах. Адже щоб розібратися в тому, як знайти площу ромба, потрібно чітко розуміти, що це за фігура і які її властивості.
Для зручності розгляду паралелограм, який є чотирикутником з попарно паралельними сторонами, приймемо за "батька". У нього є двоє "дітей": прямокутник і ромб. Обидва вони є паралелограма. Якщо продовжувати паралелі, то це - "прізвище". Значить, для того щоб знайти площу ромба, можна скористатися вже вивченої формулою для паралелограма.
Але, як і всі діти, ромб має і щось своє. Це трохи відрізняє його від "батька" і дозволяє розглядати як окрему фігуру. Адже прямокутник НЕ ромб. Повертаючись до паралелей - вони як брат і сестра. У них багато спільного, але вони все-таки різняться. Ці відмінності - їх особливі властивості, якими потрібно користуватися. Було б дивно знати про них і не застосовувати в рішенні задач.
Якщо продовжити аналогії і згадати ще одну фігуру - квадрат, то вона буде продовженням ромба і прямокутника. У цій фігурі об`єднані всі властивості і одного, і іншого.
властивості ромба
Їх п`ять і вони перераховані нижче. Причому деякі з них повторюють властивості паралелограма, а якісь властиві тільки даній фігурі.
- Ромб - це паралелограм, який прийняв особливу форму. З цього випливає, що його боку є попарно паралельними і рівними. Причому рівні вони непросто попарно, а все. Як це було б у квадрата.
- Діагоналі цього чотирикутника перетинаються під кутом, який дорівнює 90ordm-. Це зручно і багато в чому спрощує хід міркувань при вирішенні завдань.
- Інша властивість діагоналей: кожна з них ділиться точкою перетину на рівні відрізки.
- Що лежать один навпроти одного кути у цій постаті рівні.
- І остання властивість: діагоналі ромба збігаються з биссектрисами кутів.
Позначення, які прийняті в розглянутих формулах
В математиці покладається вирішувати завдання з використанням загальних буквених виразів, які називаються формулами. Тема про площі не є винятком.
Для того щоб перейти до записів, які розкажуть, як знайти площу ромба, потрібно домовитися про буквах, якими замінені всі числові значення елементів фігури.
Назва елемента | позначення |
сторона ромба | а |
велика діагональ | Д1 |
маленька діагональ | Д2 |
висота ромба | Н |
гострий кут | А |
тупий кут | В |
радіус вписаного в ромб кола | загальноприйняті в математиці позначення |
площа фігури |
Тепер прийшла пора написання формул.
Серед даних завдання - тільки діагоналі ромба
Правило стверджує, що для знаходження невідомої величини потрібно перемножити довжини діагоналей, а потім твір розділити навпіл. Результат ділення - це і є площа ромба через діагоналі.
Формула для цього випадку буде виглядати так:
Нехай ця формула буде йти під номером 1.
У задачі дано сторона ромба і його висота
Щоб обчислити площу, потрібно знайти твір цих двох величин. Мабуть, це найпростіша формула. Причому вона відома ще з теми про площу паралелограма. Там така формула вже вивчалася.
Математична запис:
Номер цієї формули - 2.
Відомі сторона і гострий кут
У цьому випадку потрібно звести в квадрат величину сторони ромба. Потім знайти синус кута. І третім дією обчислити добуток двох утворилися величин. Відповіддю буде площа ромба.
Літерне вираз:
Його порядковий номер - 3.
Дані величини: радіус вписаного кола і гострий кут
Для обчислення площі ромба потрібно знайти квадрат радіусу і помножити його на 4. Визначити значення синуса кута. Потім розділити твір на другу величину.
Формула приймає такий вигляд:
Вона буде пронумерована цифрою 4.
У задачі фігурують сторона і радіус вписаного кола
Щоб визначити, як знайти площу ромба, потрібно обчислити добуток цих величин і числа 2.
Формула для цього завдання буде виглядати так:
Її номер один по одному - 5.
Приклади можливих завдань
завдання 1
Одна з діагоналей ромба дорівнює 8, а інша - 14 см. Потрібно знайти площу фігури і довжину її боку.
Рішення
Для знаходження першої величини буде потрібно формула 1, в якій Д1 = 8, Д2 = 14. Тоді площа обчислюється так: (8 * 14) / 2 = 56 (см2).
Діагоналі ділять ромб на 4 трикутника. Кожен з них обов`язково буде прямокутним. Цим потрібно скористатися, щоб визначити значення другої невідомою. Сторона ромба стане гипотенузой трикутника, а катетами будуть половини діагоналей.
тоді а2 = (Д1 / 2)2 + (Д2 / 2)2. Після підстановки всіх значень виходить: а2 = (8/2)2 + (14/2)2 = 16 + 49 = 65. Але це квадрат сторони. Значить, потрібно витягти квадратний корінь з 65. Тоді довжина сторони буде приблизно дорівнює 8,06 см.
Відповідь: площа 56 см2, а сторона 8,06 см.
завдання 2
Сторона ромба має значення, рівне 5,5 дм, а його висота - 3,5 дм. Знайти площу фігури.
Рішення
Для того щоб знайти відповідь потрібна буде формула 2. У ній а = 5,5, Н = 3,5. Тоді, замінивши у формулі букви на числа, отримаємо, що шукана величина дорівнює 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм2).
Відповідь: площа ромба дорівнює 19,25 дм2.
завдання 3
Гострий кут у деякого ромба дорівнює 60ordm-, а його менша діагональ - 12 см. Потрібно обчислити його площу.
Рішення
Щоб отримати результат, потрібна буде формула під номером 3. У ній замість А буде 60, а значення а невідомо.
Для знаходження сторони ромба потрібно пригадати теорему синусів. У прямокутному трикутнику а буде гіпотенузою, менший катет дорівнює половині діагоналі, а кут ділиться навпіл (відомо з властивості, де згадується бісектриса).
тоді сторона а буде дорівнює добутку катета на синус кута.
Катет потрібно обчислити як Д / 2 = 12/2 = 6 (см). Синус (А / 2) буде дорівнює його значенням для кута 30ordm-, тобто 1/2.
Виконавши нескладні обчислення, отримаємо таке значення сторони ромба: а = 3 (див).
Тепер площа - це твір 32 і синуса 60ordm-, тобто 9 * (radic-3) / 2 = (9radic-3) / 2 (див2).
Відповідь: шукана величина дорівнює (9radic-3) / 2 см2.
Підсумки: все можливо
Тут були розглянуті деякі варіанти того, як знайти площу ромба. Якщо в задачі безпосередньо незрозуміло, яку формулу використовувати, то потрібно трохи подумати і спробувати пов`язати раніше вивчені теми. В інших темах обов`язково знайдеться підказка, яка допоможе зв`язати відомі величини з тими, що є в формулах. І завдання вирішиться. Головне - пам`ятати, що все раніше вивчене можна і потрібно використовувати.
Крім запропонованих завдань, можливі і зворотні завдання, коли по площі фігури потрібно обчислити значення будь-якого елементу ромба. Тоді потрібно скористатися тим рівнянням, яке найближче до умови. А потім перетворити формулу, залишивши в лівій частині рівності невідому величину.
