Тема про квадратні корені є обов`язковою в шкільній програмі курсу математики. Без них не обійтися при вирішенні квадратних рівнянь. А пізніше з`являється необхідність не тільки витягати коріння, але й виконувати з ними інші дії. Серед них досить складні: зведення в ступінь, множення і ділення. Але є і досить прості: віднімання і додавання коренів. До речі, вони тільки на перший погляд здаються такими. Виконати їх без помилок не завжди виявляється просто для того, хто тільки починає з ними знайомитися.
Що таке математичний корінь?
Ця дія виникло на противагу зведення в ступінь. Математика передбачає наявність двох протилежних операцій. На складання існує віднімання. Множенню протистоїть розподіл. Зворотна дія ступеня - це витяг відповідного кореня.
Якщо в ступеня варто двійка, то і корінь буде квадратним. Він є найпоширенішим у шкільній математиці. У нього навіть немає вказівки, що він квадратний, тобто біля нього не приписується цифра 2. Математична запис цього оператора (радикала) представлена на малюнку.
З описаного дії плавно випливає його визначення. Щоб витягти квадратний корінь з деякого числа, потрібно з`ясувати, яке дасть при множенні на себе подкоренное вираз. Це число і буде квадратним коренем. Якщо записати це математично, то вийде наступне: х * х = х2= У, значить radic-у = х.
Які дії з ними можна виконувати?
За своєю суттю корінь - це подрібнена ступінь, у якій в чисельнику стоїть одиниця. А знаменник може бути будь-яким. Наприклад, у квадратного кореня він дорівнює двом. Тому всі дії, які можна виконати зі ступенями, будуть справедливі і для коренів.
І вимоги до цих дій у них однакові. Якщо множення, ділення і піднесення до степеня незустрічають труднощів у учнів, то складання коренів, як і їх віднімання, іноді бентежить. А все тому що хочеться виконати ці операції без оглядки на знак кореня. І тут починаються помилки.
За якими правилами виконується їх додавання і віднімання?
Спочатку потрібно запам`ятати два категоричних «не можна»:
- не можна виконувати додавання і віднімання коренів, як у простих чисел, тобто неможливо записати подкоренное вираження суми під один знак і виконувати з ними математичні операції;
- можна додавати і віднімати коріння з різними показниками, наприклад квадратний і кубічний.
Наочний приклад першого заборони: radic-6 + radic-10 ne- radic-16, але radic- (6 + 10) = radic-16.
У другому випадку краще обмежитися спрощенням самих коренів. А у відповіді залишити їх суму.
Тепер до правил
- Знайти і згрупувати подібні коріння. Тобто ті, у яких не тільки стоять однакові числа під радикалом, але і вони самі з одним показником.
- Виконати складання коренів, об`єднаних в одну групу першою дією. Воно легко здійсненно, тому що потрібно тільки скласти значення, які стоять перед радикалами.
- Витягти коріння в тих доданків, в яких подкоренное вираз утворює цілий квадрат. Іншими словами, не залишати нічого під знаком радикала.
- Спростити подкоренное вираження. Для цього потрібно розкласти їх на прості множники і подивитися, чи не дадуть вони квадрата будь-якого числа. Зрозуміло, що це справедливо, якщо мова йде про квадратному корені. Коли показник ступеня три або чотири, то і прості множники повинні давати куб або четверту ступінь числа.
- Винести з-під знака радикала множник, який дає цілу ступінь.
- Подивитися, чи не з`явилися знову подібних доданків. Якщо так, то знову виконати друга дія.
У ситуації, коли завдання не вимагає точного значення кореня, його можна обчислити на калькуляторі. Нескінченну десяткову дріб, яка висвітиться в його віконці, округлити. Найчастіше це роблять до сотих. А потім виконувати всі операції для десяткових дробів.
Рекомендація: після розкладання на прості множники потрібно зробити перевірку. Тобто помножити їх один на одного, щоб переглянути, чи виходить початкове значення.
Це вся інформація про те, як виконується складання коренів. Приклади, розташовані нижче, проілюструють вищесказане.
перше завдання
Обчислити значення виразів:
а) radic-2 + 3radic-32 + frac12- radic-128 - 6radic-18;
б) radic-75 - radic-147 + radic-48 - 1/5 radic-300;
в) radic-275 - 10radic-11 + 2radic-99 + radic-396.
Рішення.
а) Якщо слідувати наведеним вище алгоритмом, то видно, що для перших двох дій в цьому прикладі нічого немає. Зате можна спростити деякі подкоренное вираження.
Наприклад, 32 розкласти на два множники 2 і 16- 18 буде дорівнює добутку 9 і 2 128 - це 2 на 64. З огляду на це, вираз буде записано так:
radic-2 + 3radic- (2 * 16) + frac12- radic- (2 * 64) - 6 radic- (2 * 9).
Тепер потрібно винести з-під знака радикала ті множники, які дають квадрат числа. Це 16 = 42, 9 = 32, 64 = 82. Вираз прийме вигляд:
radic-2 + 3 * 4radic-2 + frac12- * 8 radic-2 - 6 * 3radic-2.
Потрібно трохи спростити запис. Для цього проводиться множення коефіцієнтів перед знаками кореня:
radic-2 + 12radic-2 + 4 radic-2 - 12radic-2.
У цьому виразі всі складові виявилися подібними. Тому їх потрібно просто скласти. У відповіді вийде: 5radic-2.
б) Подібно до попереднього прикладу, складання коренів починається з їх спрощення. Подкоренное вираження 75, 147, 48 і 300 будуть представлені такими парами: 5 і 25, 3 і 49, 3 і 16, 3 і 100. У кожній з них є число, яке можна винести з-під знака кореня:
5radic-5 - 7radic-3 + 4radic-3 - 1/5 * 10radic-3.
Після спрощення виходить відповідь: 5radic-5 - 5radic-3. Його можна залишити в такому вигляді, але краще винести загальний множник 5 за дужку: 5 (radic-5 - radic-3).
в) І знову розкладання на множники: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Після винесення множників з-під знака кореня маємо:
5radic-11 - 10radic-11 + 2 * 3radic-11 + 6radic-11. Після приведення подібних доданків отримаємо результат: 7radic-11.
Приклад з дробовими виразами
radic- (45/4) - radic-20 - 5radic- (1/18) - 1/6 radic-245 + radic- (49/2).
На множники потрібно буде розкласти такі числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогічно вже розглянутим, потрібно винести множники з-під знака кореня і спростити вираз:
3/2 radic-5 - 2radic-5 - 5/3 radic- (frac12-) - 7/6 radic-5 + 7 radic- (frac12-) = (3/2 - 2 - 7/6) radic-5 - (5/3 - 7) radic- (frac12-) = - 5/3 radic-5 + 16/3 radic- (frac12-).
Цей вислів вимагає того, щоб позбутися від ірраціональності в знаменнику. Для цього потрібно помножити на radic-2 / radic-2 другий доданок:
- 5/3 radic-5 + 16/3 radic- (frac12-) * radic-2 / radic-2 = - 5/3 radic-5 + 8/3 radic-2.
Для повноти дій потрібно виділити цілу частину у множників перед країнами. У першого вона дорівнює 1, у другого - 2.
