Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. У тому числі і те, як знайти гіпотенузу, не кажучи вже про те, що це таке.
І марно. Тому що в подальшому діагональ прямокутника виявляється цієї самої гипотенузой, і її потрібно знайти. Або діаметр окружності збігається з найбільшою стороною трикутника, один з кутів якого прямий. І знайти її без цього знання неможливо.
Існує кілька варіантів того, як знайти гіпотенузу трикутника. Вибір методу залежить від вихідного набору даних в умові завдання величин.
Спосіб під номером 1: дані обидва катета
Це найбільш запам`ятовується метод, тому що використовує теорему Піфагора. Тільки іноді учні забувають, що за цією формулою знаходиться квадрат гіпотенузи. Значить, щоб знайти саму сторону, потрібно буде витягти квадратний корінь. Тому формула для гіпотенузи, яку прийнято позначати буквою «с», буде виглядати так:
з = radic- (а2 + в2), де буквами «а» і «в» записані обидва катета прямокутного трикутника.
Спосіб під номером 2: відомий катет і кут, який до нього прилягає
Для того щоб дізнатися, як знайти гіпотенузу, потрібно згадати тригонометричні функції. А саме косинус. Для зручності будемо вважати, що дані катет «а» і прилегла до нього кут alpha-.
Тепер потрібно згадати, що косинус кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню двох сторін. У чисельнику буде стояти значення катета, а в знаменнику - гіпотенузи. З цього випливає, що останню можна буде порахувати за формулою:
з = а / cos alpha-.
Спосіб під номером 3: дані катет і кут, який лежить навпроти нього
Щоб не заплутатися в формулах, введемо позначення для цього кута - beta-, а сторону залишимо колишню «а». У цьому випадку буде потрібно інша тригонометрическая функція - синус.
Як і в попередньому прикладі, синус дорівнює відношенню катета до гіпотенузи. Формула цього способу виглядає так:
з = а / sin beta-.
Для того щоб не заплутатися в тригонометричних функціях, можна запам`ятати просте мнемонічне прищепило: якщо в завданні йдеться про прпротіволежащем вугіллі, то потрібно використовувати зіНПУ, якщо - про прілежачому, то допросинус. Слід звернути увагу на перші голосні в ключових словах. Вони утворюють пари о-і або і-о.
Спосіб під номером 4: по радіусу описаного кола
Тепер, для того щоб дізнатися, як знайти гіпотенузу, потрібно згадати властивість кола, яка описана близько прямокутного трикутника. У ньому йдеться наступне. Центр кола збігається з серединою гіпотенузи. Якщо сказати по-іншому, то найбільша сторона прямокутного трикутника дорівнює діагоналі окружності. Тобто подвоєному радіусу. Формула для цього завдання буде виглядати так:
з = 2 * r, де буквою r позначений відомий радіус.
Це всі можливі способи того, як знаходити гіпотенузу прямокутного трикутника. Користуватися в кожній конкретній задачі потрібно тим методом, який більше підходить по набору даних.
Приклад завдання №1
Умова: в прямокутному трикутнику проведені медіани до обох катетам. Довжина тієї, яка проведена до більшої сторони, дорівнює radic-52. Інша медіана має довжину radic-73. Потрібно обчислити гіпотенузу.
Рішення.
Так як в трикутнику проведені медіани, то вони ділять катети на два рівних відрізка. Для зручності міркувань і пошуку того, як знайти гіпотенузу, потрібно ввести декілька позначень. Нехай обидві половинки більшого катета будуть позначені літерою «х», а іншого - «у».
Тепер потрібно розглянути два прямокутних трикутника, гіпотенуза у яких є відомі медіани. Для них потрібно двічі записати формулу теореми Піфагора:
(2у)2 + х2 = (Radic-52)2
і
(У)2 + (2х)2 = (Radic-73)2.
Ці два рівняння утворюють систему з двома невідомими. Вирішивши їх, легко можна буде знайти катети вихідного трикутника і по ним його гіпотенузу.
Спочатку потрібно все звести до другого степеня. виходить:
4у2 + х2 = 52
і
у2 + 4х2 = 73.
З другого рівняння видно, що у2 = 73 - 4х2. Цей вислів потрібно підставити в перше і обчислити «х»:
4 (73 - 4х2) + Х2 = 52.
Після перетворення:
292 - 16 х2 + х2 = 52 або 15х2 = 240.
З останнього виразу х = radic-16 = 4.
Тепер можна обчислити «у»:
у2 = 73 - 4 (4)2 = 73 - 64 = 9.
у = 3.
За даними умови виходить, що катети вихідного трикутника рівні 6 і 8. Значить, можна скористатися формулою з першого способу і знайти гіпотенузу:
radic- (62 + 82) = radic- (36 + 64) = radic-100 = 10.
відповідь: Гіпотенуза дорівнює 10.
Приклад завдання №2
Умова: обчислити діагональ, проведену в прямокутнику з меншою стороною, рівною 41. Якщо відомо, що вона ділить кут на такі, які співвідносяться як 2 до 1.
Рішення.
У цьому завданні діагональ прямокутника є найбільшою стороною в трикутнику з кутом 90ordm-. Тому все зводиться до того, як знайти гіпотенузу.
У задачі йдеться про кути. Це означає, що потрібно буде користуватися однією з формул, в яких присутні тригонометричні функції. А спочатку потрібно визначити величину одного з гострих кутів.
Нехай менший з кутів, про які йде мова в умови, буде позначений alpha-. Тоді прямий кут, який ділиться діагоналлю, буде дорівнює 3alpha-. Математична запис цього виглядає так:
90ordm- = 3 alpha-.
З цього рівняння просто визначити alpha-. Він буде дорівнює 30ordm-. Причому він буде лежати навпроти меншої сторони прямокутника. Тому потрібно формула, описана в способі №3.
Гіпотенуза дорівнює відношенню катета до синусу протилежного кута, тобто:
41 / sin 30ordm- = 41 / (0,5) = 82.
Відповідь: гіпотенуза дорівнює 82.
