Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх сторін цього багатокутника.
Обчислення за даними значенням довжини сторін
Коли відомі їх значення, то зробити це нескладно. Позначивши ці параметри буквами m, n, k, а периметр буквою P, отримаємо формулу для обчислення: P = m + n + k. Завдання: Відомо, що трикутник має сторони довжиною 13,5 дециметрів, 12,1 дециметрів і 4,2 дециметра. Дізнатися периметр. Вирішуємо: Якщо сторони даного багатокутника - a = 13,5 дм, b = 12,1 дм, c = 4,2 дм, то P = 29,8 дм. Відповідь: P = 29,8 дм.
Периметр трикутника, який має дві рівні сторони
Такий трикутник називається рівнобедреним. Якщо ці рівні сторони мають довжину a сантиметрів, а третя сторона - b сантиметрів, то периметр легко дізнатися: P = b + 2a. Завдання: трикутник має дві сторони по 10 дециметрів, підстава 12 дециметрів. Знайти P. Рішення: Нехай бічна сторона a = c = 10 дм, підстава b = 12 дм. Сума сторін P = 10 дм + 12 дм + 10 дм = 32 дм. Відповідь: P = 32 дециметра.
Периметр рівностороннього трикутника
Якщо всі три сторони трикутника мають рівну кількість одиниць виміру, він називається рівностороннім. Ще одна назва - правильний. Периметр правильного трикутника знаходять за допомогою формули: P = a + a + a = 3middot-a. Завдання: Маємо рівносторонній трикутний земельну ділянку. Одна сторона дорівнює 6 метрам. Знайти довжину забору, яким можна обнести цю ділянку. Рішення: Якщо сторона цього багатокутника a = 6м, то довжина забору P = 3middot-6 = 18 (м). Відповідь: P = 18 м.
Трикутник, у якого є кут 90 °
Його називають прямокутним. Наявність прямого кута дає можливість знаходити невідомі сторони, користуючись визначенням тригонометричних функцій і теоремою Піфагора. Найдовша сторона називається гіпотенуза і позначається c. Є ще дві сторони, a і b. Дотримуючись теоремі, що носить ім`я Піфагора, маємо c2 = a2 + b2. Катети a = radic- (c2 - b2) І b = radic- (c2 - а2). Знаючи довжину двох катетів a і b, обчислюємо гипотенузу. Потім знаходимо суму сторін фігури, склавши ці значення. Завдання: Катети прямокутного трикутника мають довжину 8,3 сантиметра і 6,2 сантиметра. Периметр трикутника потрібно обчислити. Вирішуємо: Позначимо катети a = 8,3 см, b = 6,2 см. За теоремою Піфагора гіпотенуза c = radic- (8,32 + 6,22) = radic- (68,89 + 38,44) = radic-107,33 = 10,4 (см). P = 24,9 (см). Або P = 8,3 + 6,2 + radic- (8,32 + 6,22) = 24,9 (см). Відповідь: P = 24,9 см. Значення коренів брали з точністю до десятих. Якщо нам відомі значення гіпотенузи і катета, то значення Р отримаємо, обчисливши Р = radic- (c2 - b2) + B + c. Завдання 2: Відрізок земельної ділянки, що лежить проти кута в 90 градусів, 12 км, один з катетів - 8 км. За який час можна обійти всю ділянку, якщо рухатися зі швидкістю 4 кілометри на годину? Рішення: якщо найбільший відрізок - 12 км, менший b = 8 км, то довжина всього шляху складе P = 8 + 12 + radic- (122 - 82) = 20 + radic-80 = 20 + 8,9 = 28,9 (км). Час знайдемо, розділивши шлях на швидкість. 28,9: 4 = 7,225 (ч). Відповідь: можна обійти за 7,3 год. Значення квадратних коренів і відповіді беремо з точністю до десятих. Можна знайти суму сторін прямокутного трикутника, якщо дана одна зі сторін і значення одного з гострих кутів. Знаючи довжину катета b і значення протилежного йому кута beta-, знайдемо невідому сторону a = b / tg beta-. Знаходимо гипотенузу c = a: sinalpha-. Периметр такої фігури знаходимо, склавши отримані значення. P = a + a / sinalpha- + a / tg alpha-, або P = a (1 / sin alpha- + 1 + 1 / tg alpha-). Завдання: У прямокутному Delta- АВС з прямим кутом С катет ВС має довжину 10 м, кут А - 29 градусів. Потрібно знайти суму сторін Delta- АВС. Рішення: Позначимо відомий катет ВС = a = 10 м, кут, що лежить навпроти нього, А = alpha- = 30 °, тоді катет АС = b = 10: 0,58 = 17,2 (м), гіпотенуза АВ = c = 10: 0,5 = 20 (м). Р = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (м). Або Р = 10 middot- (1 + 1,72 + 2) = 47,2 м. Маємо: P = 47,2 м. Значення тригонометричних функцій беремо з точністю до сотих, значення довжини сторін і периметра округляємо до десятих. Маючи значення катета alpha- і прилеглого кута beta-, дізнаємося, чому дорівнює другий катет: b = a tg beta-. Гіпотенуза в такому випадку буде дорівнює катету, розділеному на косинус кута beta-. Периметр дізнаємося за формулою P = a + a tg beta- + a: cos beta- = (tg beta- + 1 + 1: cos beta-) middot-a. Завдання: Катет трикутника з кутом 90 градусів 18 см, прилегла кут - 40 градусів. Знайти P. Рішення: Позначимо відомий катет ВС = 18 см, beta- = 40 °. Тоді невідомий катет АС = b = 18 middot- 0,83 = 14,9 (см), гіпотенуза АВ = c = 18: 0,77 = 23,4 (см). Сума сторін фігури дорівнює Р = 56,3 (см). Або Р = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 см. Відповідь: P = 56,3 см. Якщо відома довжина гіпотенузи c і який-небудь кут alpha-, то катети будуть дорівнюють добутку гіпотенузи для першого - на синус і для другого - на косинус цього кута. Периметр цієї фігури P = (sin alpha- + 1+ cos alpha -) * c. Завдання: Гіпотенуза прямокутного трикутника АВ = 9,1 сантиметр, а кут 50 градусів. Знайти суму сторін даної фігури. Рішення: Позначимо гипотенузу: AB = c = 9,1 см, A = alpha- = 50 °, тоді один з катетів BC має довжину a = 9,1 middot- 0,77 = 7 (см), катет АС = b = 9,1 middot- 0,64 = 5,8 (см). Значить периметр цього багатокутника дорівнює P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (см). Або P = 9,1middot- (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (см). Відповідь: P = 21,9 сантиметрів.
Довільний трикутник, одна зі сторін якого невідома
Якщо ми маємо значення двох сторін a і c, і кута між цими сторонами gamma-, третю знаходимо теоремою косинусів: b 2 = з2 + a 2 - 2 ас cos beta-, де beta- - кут, що лежить між сторонами а і с. Потім знаходимо периметр. завдання: Delta- АВС має відрізок АВ довжиною 15 дм, відрізок АС, довжина которго 30,5 дм. Значення кута між цими сторонами 35 градусів. Обчислити суму сторін Delta- АВС. Рішення: Теоремою косинусів обчислимо довжину третьої сторони. BC2 = 30,52 + 152 - 2middot-30,5middot-15middot-0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 см. P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (дм) .Імеем: P = 65,6 дм.
Сума сторін довільного трикутника, у якого довжини двох сторін невідомі
Коли знаємо довжину тільки одного відрізка і значення двох кутів, можна дізнатися довжину двох невідомих сторін, користуючись теоремою синусів: «в трикутнику сторони завжди пропорційні значенням синусів протилежних кутів». Звідки b = (a * sin beta -) / sin a. Аналогічно c = (a sin gamma-): sin a. Периметр в такому випадку буде P = а + (а sin beta -) / sin a + (a sin gamma -) / sin a. Завдання: Маємо Delta- ABC. У ньому довжина сторони BC 8,5 мм, значення кута C - 47 °, а кута B - 35 градусів. Знайти суму сторін даної фігури. Рішення: Позначимо довжини сторін BC = a = 8,5 мм, AC = b, AB = c, A = alpha- = 47 °, B = beta- = 35 °, C = gamma- = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Зі співвідношень, отриманих з теореми синусів, знаходимо катети AC = b = (8,5middot-0,57): 0,73 = 6,7 (мм), AB = c = (7 middot- 0,99): 0,73 = 9,5 (мм). Звідси сума сторін цього багатокутника дорівнює P = 8,5 мм + 5,5 мм + 9,5 мм = 23,5 мм. Відповідь: P = 23,5 мм. У разі, коли є тільки довжина одного відрізка і значення двох прилеглих кутів, спочатку обчислюємо кут, протилежний відомої стороні. Всі кути цієї фігури в сумі мають 180 градусів. Тому A = 180 ° - ( B + C). Далі знаходимо невідомі відрізки, використовуючи теорему синусів. Завдання: Маємо Delta- ABC. Він має відрізок BC, рівний 10 см. Значення кута B дорівнює 48 градусів, кут C дорівнює 56 градусів. Знайти суму сторін Delta- ABC. Рішення: Спочатку знайдемо значення кута A, протилежного стороні BC. A = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Тепер з теоремою синусів обчислимо довжину сторони AC = 10middot-0,74: 0,97 = 7,6 (см). AB = BC * sin C / sin A = 8,6. Периметр трикутника Р = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (см). Результат: P = 26,2 см.
Обчислення периметра трикутника з використанням радіуса кола, вписаного в нього
Іноді з умови задачі не відома жодна сторона. Зате є значення площі трикутника і радіуса кола, вписаного в нього. Ці величини пов`язані: S = r p. Знаючи значення площі трикутника, радіуса r, можемо знайти напівпериметр p. Знаходимо p = S: r. Завдання: Ділянка має площу 24 м2, радіус r дорівнює 3 м. Знайти кількість дерев, яке потрібно висадити рівномірно по лінії, що обгороджує цю ділянку, якщо між двома сусідніми має бути відстань 2 метри. Рішення: Суму сторін даної фігури знаходимо так: P = 2 middot- 24: 3 = 16 (м). Потім ділимо на два. 16: 2 = 8. Разом: 8 дерев.
Сума сторін трикутника в декартових координатах
вершини Delta- АВС мають координати: A (x1- y1), B (x2- y2), C (x3 - y3). Знайдемо квадрати кожної зі сторін AB2 = (X1 - x2)2 + (y1 - y2)2- ВС2= (X2 - x3)2 + (y2 - y3)2- АС2 = (X1 - x3)2 + (y1 - y3)2. Щоб знайти периметр, досить скласти всі відрізки. Завдання: Координати вершин Delta- ABC: B (3 0), A (1 -3), C (2 5). Знайти суму сторін цієї фігури. Рішення: поставивши значення відповідних координат в формулу периметра, отримаємо P = radic- (4 + 9) + radic- (1 + 25) + radic- (1 + 64) = radic-13 + radic-26 + radic-65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Маємо: P = 16,6. Якщо фігура знаходиться не на площині, а в просторі, то кожна з вершин має три координати. Тому формула суми сторін матиме ще один доданок.
векторний метод
Якщо фігура задана координатами вершин, периметр можна обчислити, використовуючи векторний метод. Вектор - відрізок, який має напрямок. Його модуль (довжина) позначається символом | |. Відстань між точками - це і є довжина відповідного вектора, або модуль вектора. Розглянемо трикутник, що лежить на площині. Якщо вершини мають координати А (х1- у1), М (х2- у2), Т (х3- у3), То довжину кожної зі сторін знаходимо за формулами: |АМ| = radic- ((х1 - х2)2 + (у1 - у2)2), |МТ| = radic- ((х2 - х3)2 + (у2 - у3)2), |АТ| = radic- ((х1 - х3)2 + (у1 - у3)2). Периметр трикутника отримаємо, склавши довжини векторів. Аналогічно знаходять суму сторін трикутника в просторі.
