В математиці зустрічаються різноманітні рівняння. Їх завжди потрібно вирішувати, тобто шукати все числа, які зроблять його вірним рівністю. Шляхи пошуку рішень визначаються початковим видом рівняння. Від нього ж буде залежати і кількість вірних значень змінної, які позначаються, як корінь рівняння. Це число може варіюватися від нуля до нескінченності.
Що мається на увазі під рівнянням і його коренем?
З назви зрозуміло, що воно прирівнює дві величини, які можуть бути представлені числовими або літерними виразами. Крім того, вони містять ще невідомі величини. Найпростіше рівняння має тільки одну.
Видів рівнянь велика кількість, але поняття кореня для них завжди один і той же. Корінь рівняння - це таке значення невідомого числа, при якому рівняння приймає стає вірним рівністю. Бувають ситуації, коли таких чисел декілька, тоді невідома називається змінною.
Пошук всіх можливих коренів рівняння є його рішенням. Тобто потрібно виконати ряд математичних дій, які його спрощують. А потім призводять до рівності, в якому міститься тільки невідома і будь-яке число.
В алгебрі при вирішенні рівнянь можна прийти до такої ситуації, що коріння не буде зовсім. Тоді говорять про те, що воно нерозв`язною. А у відповіді такого рівняння потрібно записати, що рішень немає.
Але іноді буває і протилежне. Тобто в процесі численних перетворень з`являються сторонні корені. Вони не дадуть вірного рівності при підстановці. Тому числа завжди потрібно перевіряти, щоб уникнути ситуації з зайвими корінням у відповіді. Інакше рівняння не буде вважатися вирішеним.
Про лінійному рівнянні
Воно завжди може бути перетворено в запис наступного виду: а * х + у = 0. У ньому «а» завжди не дорівнює нулю. Щоб зрозуміти скільки коренів має рівняння, його потрібно вирішити в загальному вигляді.
Алгоритм перетворень:
- перенести в праву частину рівності доданок «в», замінивши його знак на протилежний;
- розділити обидві частини отриманого рівності на коефіцієнт «а».
Загальний вигляд вирішення такого:
х = -в / а.
З нього ясно, що відповіддю буде одне число. Тобто всього один корінь.
Квадратне рівняння
Його загальний вигляд: а * х2 + в * х + с = 0. Тут коефіцієнти є будь-якими числами, крім першого, «а», яке не може бути рівним нулю. Адже тоді воно автоматично перетвориться в лінійне. Відповідь на питання, скільки коренів має рівняння, вже не буде настільки однозначним, як це було в попередньому випадку.
Все буде залежати від значення дискримінанту. Він обчислюється за формулою Д = в2 - 4 а * з. Після розрахунків «Д» може вийти більше, менше або рівним нулю. У першому випадку коріння рівняння буде два, у другому відповіддю буде «коренів немає», а третя ситуація дасть тільки одне значення невідомою.
Формули, які використовують для знаходження коренів квадратного рівняння, і містять дискриминант
У загальному випадку, коли «Д» позитивне число, не рівне нулю, потрібно використовувати таку формулу:
х1,2 = (-н ± radic-Д) / (2 * а).
Тут завжди вийде дві відповіді. Це пов`язано з тим, що у вихідній формулі стоїть знак «плюс / мінус». Він істотно змінює значення невідомою.
У разі рівного розподілу «Д» нулю корінь рівняння - це єдине число. Просто тому що квадратний корінь з нуля дорівнює нулю. А значить, додавати і віднімати потрібно буде нуль. Від цього число не зміниться. Тому формулу кореня рівняння можна записати без згадки "Д":
х = (-н) / (2 * а).
При від`ємному значенні дискримінанту витягти з нього квадратний корінь не представляється можливим. Тому коренів у такого рівняння не буде.
Зауваження. Це вірно для курсу шкільної програми, в якій не вивчаються комплексні числа. Коли вони вводяться, то виходить, що і в цій ситуації відповідей буде два.
Формули для розрахунку коренів квадратного рівняння, які не використовують дискриминант
Йдеться про теорему Вієта. Вона дійсна у разі, коли квадратне рівняння записується в дещо іншому вигляді:
х2 + в * х + с = 0.
Тоді формула коренів квадратного рівняння зводиться до того, щоб виконати рішення двох лінійних:
х1 + х2 = -в
і
х1 * х2 = С.
Воно вирішується за рахунок того, що з першого виводиться вираз для одного з коренів. І це значення потрібно підставити в друге. Так буде знайдений другий корінь, а потім перший.
До цього варіанту завжди можна прийти від загального вигляду квадратного рівняння.
Досить тільки розділити всі коефіцієнти на «а».
Як бути, якщо потрібно дізнатися найменше значення кореня?
Вирішувати рівняння і знаходити всі можливі числа, які підійдуть для відповіді. А потім вибрати найменше. Це і буде найменший корінь рівняння.
Найчастіше такі питання зустрічаються в завданнях, які мають ступінь більшу, ніж 2, або містять тригонометричні функції. Прикладом, коли потрібно знайти найменший корінь, може служити така рівність:
2 х5 + 2 х4 - 3 х3 - 3 х2 + х + 1 = 0.
Щоб знайти кожне значення, яке можна назвати "корінь рівняння", це рівність потрібно перетворити. Перша дія: згрупувати його члени попарно: перший з другим і так далі. Потім з кожної пари винести загальний множник.
У кожній скобці залишиться (х + 1). Загальним множником в першій з пар буде 2 х4, у другій 3 х2. Тепер знову потрібно виконати винесення загального множника, яким буде однакова дужка.
Після множника (х + 1) буде стояти (2 х4 - 3 х2 + 1). Твір двох множників дорівнює нулю, тільки якщо один з них приймає значення, рівне нулю.
Перша дужка дорівнює нулю при х = -1. Це буде одним з коренів рівняння.
Інші будуть отримані з рівняння, утвореного другий дужкою, прирівняної до нуля. Воно біквадратне. Для його вирішення потрібно ввести позначення: х2 = У. Тоді рівняння істотно зміниться і прийме звичний вид квадратного рівняння.
Його дискримінант дорівнює Д = 1. Він більше нуля, отже коренів буде два. Перший корінь виявляється рівним 1, другий буде 0,5. Але це значення для «у».
Потрібно повернутися до введеного позначення. х1,2 = ± 1, х3,4 = ± radic-0,5. Все коріння рівняння: -1- 1 -radic-0,5- radic-0,5. Найменший з них - -1. Це відповідь.
Як висновок
Нагадування: всі рівняння потрібно перевіряти на те, чи підходить корінь. Може бути, він сторонній? Варто виконати перевірку запропонованого прикладу.
Якщо підставити в початково дане рівняння замість "х" одиницю, то виходить, що 0 = 0. Цей корінь вірний.
Якщо х = -1, то виходить такий же результат. Корінь теж підходящий.
Аналогічно, при значеннях "х" рівних -radic-0,5 і radic-0,5 знову виходить правильне рівність. Все коріння підходять.
Цей приклад не дав сторонніх коренів. Таке буває не завжди. Цілком могло виявитися, що найменше значення не підходило б під час перевірки. Тоді довелося б вибирати з решти.
Висновок: треба пам`ятати про перевірку і уважно підходити до вирішення.
