Навчитися розв`язувати рівняння - це одна з головних задач, які ставить алгебра перед учнями. Починаючи з найпростішого, коли воно складається з однієї невідомої, і переходячи до все більш складним. Якщо не засвоєні дії, які потрібно виконати з рівняннями з першої групи, буде важко розібратися з іншими.
Для продовження розмови потрібно домовитися про позначеннях.
| Назва величини | її позначення |
| змінна | х, у |
| будь-яке число | а, в, з |
Загальний вигляд лінійного рівняння з однією невідомою і принцип його рішення
Будь-яке рівняння, яке можна привести до запису такого виду:
а * х = в,
називається лінійним. Це загальна формула. Але часто в завданнях лінійні рівняння записані в неявному вигляді. Тоді потрібно виконати тотожні перетворення, щоб отримати загальноприйняту запис. До цих дій відносяться:
- розкриття дужок;
- переміщення всіх доданків зі змінною величиною в ліву частину рівності, а інших - в праву;
- приведення подібних доданків.
У разі коли невідома величина варто в знаменнику дробу, потрібно визначити її значення, при яких вираз не матиме сенсу. Іншими словами, потрібно було дізнатися область визначення рівняння.
Принцип, за яким вирішуються всі лінійні рівняння, зводиться до того, щоб розділити значення в правій частині рівності на коефіцієнт перед змінної. Тобто «х» буде дорівнює в / а.
Окремі випадки лінійного рівняння і їх рішення
Під час міркувань можуть виникати такі моменти, коли лінійні рівняння приймають один з особливих видів. Кожен з них має конкретне рішення.
У першій ситуації:
а * х = 0, причому а ne- 0.
Рішенням такого рівняння завжди буде х = 0.
У другому випадку «а» набуває значення рівне нулю:
0 * х = 0.
Відповіддю такого рівняння буде будь-яке число. Тобто у нього нескінченну кількість коренів.
Третя ситуація виглядає так:
0 * х = в, де в ne- 0.
Це рівняння не має сенсу. Тому що корінь, що задовольняють йому, не існує.
Загальний вигляд лінійного рівняння з двома змінними
З його назви стає ясно, що невідомих величин в ньому вже дві. Лінійні рівняння з двома змінними виглядають так:
а * х + у * у = з.
Оскільки в запису зустрічаються дві невідомі, то відповідь буде виглядати як пара чисел. Тобто недостатньо вказати лише одне значення. Це буде неповний відповідь. Пара величин, при яких рівняння перетворюється в тотожність, є рішенням рівняння. Причому у відповіді завжди першої записують ту змінну, яка йде раніше за алфавітом. Іноді кажуть, що ці числа йому задовольняють. Причому таких пар може бути нескінченна кількість.
Як вирішити лінійне рівняння з двома невідомими?
Для цього потрібно просто підібрати будь-яку пару чисел, яка виявиться вірною. Для простоти можна прийняти одну з невідомих рівній якомусь простому числу, а потім знайти другу.
При вирішенні часто доводиться виконувати дії для спрощення рівняння. Вони називаються тотожними перетвореннями. Причому для рівнянь завжди справедливі такі властивості:
- кожний доданок можна перенести в протилежну частину рівності, замінивши у нього знак на протилежний;
- ліву і праву частини будь-якого рівняння дозволено ділити на одне і те ж число, якщо воно не дорівнює нулю.
Приклади завдань з лінійними рівняннями
Перше завдання. Вирішити лінійні рівняння: 4х = 20, 8 (х - 1) + 2х = 2 (4 - 2х) - (5х + 15) / (х + 4) = 4 (5х + 15) / (х + 3) = 4.
У рівнянні, яке йде в цьому списку першим, досить просто виконати розподіл 20 на 4. Результат буде дорівнює 5. Це і є відповідь: х = 5.
Третє рівняння вимагає того, щоб було виконано тотожне перетворення. Воно буде полягати в розкритті дужок і приведення подібних доданків. Після першої дії рівняння набуде вигляду: 8х - 8 + 2х = 8 - 4х. Потім потрібно перенести всі невідомі в ліву частину рівності, а решта - в праву. Рівняння стане виглядати так: 8х + 2х +4 х = 8 + 8. Після приведення подібних доданків: 14х = 16. Тепер воно виглядає так само, як і перше, і рішення його знаходиться легко. Відповіддю буде х = 8/7. Але в математиці покладається виділяти цілу частину з неправильного дробу. Тоді результат перетвориться, і «х» буде дорівнює однієї цілої і однієї сьомої.
В інших прикладах змінні знаходяться в знаменнику. Це означає, що спочатку потрібно дізнатися, при яких значеннях рівняння визначені. Для цього потрібно виключити числа, при яких знаменники звертаються в нуль. У першому з прикладів це «-4», в другому воно «-3». Тобто ці значення потрібно виключити з відповіді. Після цього потрібно помножити обидві частини рівності на вираження в знаменнику.
Розкривши дужки і привівши подібні доданки, в першому з цих рівнянь вийде: 5х + 15 = 4х + 16, а в другому 5х + 15 = 4х + 12. Після перетворень рішенням першого рівняння буде х = -1. Друге виявляється рівним «-3», це означає, що останнім рішень не має.
Друге завдання. Вирішити рівняння: -7х + 2у = 5.
Припустимо, що перша невідома х = 1, тоді рівняння прийме вид -7 * 1 + 2у = 5. Перенісши в праву частину рівності множник «-7» і помінявши у нього знак на плюс, вийде, що 2у = 12. Значить, у = 6. Відповідь: одне з рішень рівняння х = 1, у = 6.
Загальний вигляд нерівності з однією змінною
Всі можливі ситуації для нерівностей представлені тут:
- а * х> в;
- а * х lt; в;
- а * х ge-в;
- а * х le-в.
Загалом, воно виглядає як найпростіше лінійне рівняння, тільки знак рівності замінений на нерівність.
Правила тотожних перетворень нерівності
Так само як лінійні рівняння, і нерівності можна видозмінювати за певними законами. Вони зводяться до наступного:
- до лівої і правої частин нерівності можна додати будь буквене або числовий вираз, причому знак нерівності залишиться колишнім;
- також можна і помножити або розділити на одне й те саме додатне число, від цього знову знак не змінюється;
- при множенні або діленні на одне й те саме від`ємне число рівність залишиться вірним за умови зміни знака нерівності на протилежний.
Загальний вигляд подвійних нерівностей
У завданнях можуть бути представлені такі варіанти нерівностей:
- в lt; а * х lt; с;
- в le- а * х lt; с;
- в lt; а * х le- с;
- в le- а * х le- с.
Подвійними воно називається, тому що обмежена знаками нерівності з двох сторін. Воно вирішується за допомогою тих же правил, що і звичайні нерівності. І знаходження відповіді зводиться до ряду тотожних перетворень. Поки не буде отримано найпростіше.
Особливості рішення подвійних нерівностей
Першою з них є його зображення на координатної осі. Використовувати цей спосіб для простих нерівностей немає необхідності. А ось в складних випадках він може бути просто необхідним.
Для зображення нерівності потрібно відзначити на осі всі крапки, які вийшли під час міркувань. Це і неприпустимі значення, які позначаються виколотими точками, і значення з нерівностей, утворені після перетворень. Тут теж важливо правильно намалювати точки. Якщо нерівність суворе, тобто lt; або>, то ці значення виколоті. У нестрогих нерівностях точки потрібно зафарбовувати.
Потім покладається позначити сенс нерівностей. Це можна зробити за допомогою штрихування або дуг. Їх перетин вкаже відповідь.
Друга особливість пов`язана з його записом. Тут пропонується два варіанти. Перший - це остаточне нерівність. Другий - у вигляді проміжків. Ось з ним буває, що виникають труднощі. Відповідь проміжками завжди виглядає як змінна зі знаком приналежності і дужок з числами. Іноді проміжків виходить кілька, тоді між дужками потрібно написати символ «і». Ці знаки виглядають так: isin- і cap-. Дужки проміжків теж грають свою роль. Кругла ставиться тоді, коли точка виключена з відповіді, а прямокутна включає це значення. Знак безкінечності завжди стоїть в круглої дужки.
Приклади розв`язання нерівностей
1. Вирішити нерівність 7 - 5х ge- 37.
Після нескладних перетворень виходить: -5х ge- 30. Розділивши на «-5» можна отримати такий вираз: х le- -6. Це вже відповідь, але його можна записати і по-іншому: х isin- (-infin-- -6].
2. Вирішіть подвійне нерівність -4 lt; 2x + 6 le- 8.
Спочатку потрібно всюди відняти 6. Вийде: -10 lt; 2x le- 2. Тепер потрібно розділити на 2. Нерівність набуде вигляду: -5 lt; x le- 1. Зобразивши відповідь на числової осі, відразу можна зрозуміти, що результатом буде проміжок від -5 до 1. Причому перша точка виключена, а друга включена. Тобто відповідь у нерівності такий: х isin- (-5- 1].
