Комплексні числа, в традиційному сенсі цього слова, не є числами, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об`єктами, які визначаються представленими нижче властивостями.
Використовують 3 форми комплексного числа: алгебраїчну, показову, тригонометричну.
форма алгебраїчна
Комплексні числа позначають виразом omega- + nu-i, де дійсними є omega- і nu-, а символ i, визначається умовою i2 - 1 - одиниця уявна.
Відповідно число комплексне omega- + nu-i ділиться на дійсну і уявну частину. Для зручності зображують його однією буквою (наприклад eta-): eta- = omega- + nu-i.
Частини числа комплексного eta- = omega- + nu-i, дійсну і уявну, позначають omega- = Reeta-, nu- = Iteta- відповідно.
Рівними вважаються комплексні числа, коли еквівалентні їх і дійсні та уявні частини. Рівним нулю вважається комплексне число, якщо його частини, дійсна і уявна, дорівнюють нулю.
арифметичні дії
додавання
Сумою комплексних чисел називають число комплексне, дійсна частина якого еквівалентна сумі дійсних частин, а уявна еквівалентна сумі уявних частин:
eta - = (omega-1+omega-2) + (Nu-1+nu-2) I.
Кажуть що в числі комплексному eta- знайшли в результаті додавання чисел комплексних:
eta- = eta-1+eta-2.
комплексні eta-1 і eta-2 іменують складовими.
Закони операції додавання:
1) закон асоціативності;
2) закон коммутативности.
число комплексне -omega - bi називають комплексному числу omega- + nu-i протилежним. Сума протилежних комплексних чисел дорівнює нулю.
різниця
Різницею чисел комплексних називають число комплексне eta- яка дорівнює загальній кількості числа eta-1 і числа протилежного eta-2:
eta- = eta-1+(-eta-2) = (Omega-1-omega-2) + (Nu-1-nu-2) I.
Про число комплексному eta- кажуть, що його знайшли в результаті віднімання eta-2 і eta-1 (Чисел комплексних), і записують:
eta- = eta-2-eta-1.
твір
Твором чисел комплекснихявляется число комплексне:
eta - = (omega-1omega-2-nu-1nu-2) + (Omega-1nu-1+omega-2nu-1) I.
Про число комплексному eta- кажуть, що його отримали множенням eta-1 на eta-2 (числа eta-1 і eta-2 - комплексні), і записують:
eta- = eta-1eta-2.
комплексні eta-1 і eta-2 іменують множителями.
Закони операції множення чисел комплексних:
1) закон асоціативності;
2) закон коммутативности .
розподіл
Приватним чисел комплексних називають таке комплексне eta-, що eta-1= eta-1:eta-2 (eta-2 ne- 0). Приватне чисел комплексних обчислюють за формулою:
eta - = (omega-1omega-2-nu-1nu-2) / (Omega-2+nu-2) + (Omega-1nu-1+ omega-2 nu-1) I / (omega-2+ nu-2).
Про число eta- кажуть, що його отримали в результаті поділу eta-1 на eta-2, і записують:
eta- = eta-1/ eta-2.
Додавання і множення чисел комплексних пов`язані правилом, яке називається дистрибутивним законом множення щодо складання.
Тригонометричні комплексні числа
Застосовують також іншу форму запису чисел комплексних, яка називається тригонометричної.
число комплексне omega- + nu-i записати можна так:
eta- = k (cosbeta- + isinbeta-), де k2= omega-2+nu-2.
Цей вислів - форма запису чисел комплексних, яка носить назву геодезичної. Модуль числа комплексного - дійсне число k, а кут beta-, виміряний в радіанах - його аргументом.
Якщо число комплексне не дорівнює нулю, то модуль його положітельний- якщо ж eta- = 0, інакше кажучи omega- = nu- = 0, то і модуль його дорівнює нулю. Модуль визначено однозначно.
Твором тригонометричних комплексних чисел є модуль числа комплексного, який еквівалентний твору множників, вірніше, їх модулів, а аргумент еквівалентний сумі аргументів множників:
eta-1eta-2= k1k2[Cos (beta-1+beta-2) + Isin (beta-1+beta-2)].
Приватним тригонометричних комплексних чисел, які не рівні нулю, є число комплексне, модуль якого еквівалентний приватному діленого і дільника (їх модулів), а аргумент еквівалентний різниці аргументів діленого і дільника:
eta-1/ eta-2= k1/ k2[Cos (beta-1-beta-2) + Isin (beta-1-beta-2)].
Натуральна ступінь числа комплексного
У математиці n-й ступенем комплексного eta- називають комплексне w, знайдене в результаті множення eta- комплексного n раз саме на себе: w = eta-eta -... eta-.
Зазвичай використовують коротше запис:
w = eta-n,
в якому число eta- - основа ступеня, а n (Число натуральне) - показник ступеня.
n-я ступінь eta- (число комплексне), яке задано в тригонометричної формі, обчислюється за формулою:
eta-n= kn(Cosnbeta- + isinnbeta-).
Ця формула носить назву - формула Муавра.
