Ще з початку XVI-XVIII століть математики посилено почали вивчати функції, завдяки яким так багато в нашому житті змінилося. Комп`ютерна техніка без цих знань просто не існувала б. Для вирішення складних завдань, лінійних рівнянь і функцій були створені різні концепції, теореми і методики рішення. Одним з таких універсальних і раціональних способів і методик вирішення лінійних рівнянь і їх систем став і метод Гаусса. Матриці, їх ранг, детермінант - все можна порахувати, не використовуючи складних операцій.
Що являє собою СЛАР
У математиці існує поняття СЛАР - система лінійних алгебраїчних рівнянь. Що ж вона собою являє? Це набір з m рівнянь з шуканими n невідомими величинами, зазвичай позначають як x, y, z, або x1, x2... xn, або іншими символами. Вирішити методом Гаусса дану систему - означає знайти всі шукані невідомі. Якщо система має однакове число невідомих і рівнянь, тоді вона називається системою n-го порядку.
Найбільш популярні методи розв`язування СЛАР
У навчальних закладах середньої освіти вивчають різні методики рішення таких систем. Найчастіше це прості рівняння, що складаються з двох невідомих, тому будь-який існуючий метод для пошуку відповіді на них не займе багато часу. Це може бути як метод підстановки, коли з одного рівняння виводиться інше і підставляється в початкове. Або метод почленного вирахування і складання. Але найбільш легким і універсальним вважається метод Гаусса. Він дає можливість вирішувати рівняння з будь-якою кількістю невідомих. Чому саме ця методика вважається раціональною? Все просто. Матричний спосіб хороший тим, що тут не потрібно по кілька разів переписувати непотрібні символи у вигляді невідомих, досить виконати арифметичні операції над коефіцієнтами - і вийде достовірний результат.
Де використовуються СЛАР на практиці
Рішенням СЛАР є точки перетину прямих на графіках функцій. В наш високотехнологічний комп`ютерний вік людям, які тісно пов`язані з розробкою ігор і інших програм, необхідно знати, як вирішувати такі системи, що вони представляють і як перевірити правильність отриманого результату. Найбільш часто програмісти розробляють спеціальні програми-обчислювачі лінійної алгебри, сюди входить і система лінійних рівнянь. Метод Гаусса дозволяє вирахувати всі існуючі рішення. Також використовуються і інші спрощені формули і методики.
Критерій сумісності СЛАР
Таку систему можна вирішити тільки в тому випадку, якщо вона сумісна. Для зрозумілості представимо СЛАР у вигляді Ax = b. Вона має рішення, якщо rang (A) дорівнює rang (A, b). У цьому випадку (A, b) - це матриця розширеного виду, яку можна отримати з матриці А, переписавши її з вільними членами. Виходить, що вирішити лінійні рівняння методом Гауса досить легко.
Можливо, деякі позначення не зовсім зрозумілі, тому необхідно розглянути всі на прикладі. Припустимо, є система: x + y = 1 2x-3y = 6. Вона складається всього з двох рівнянь, в яких 2 невідомі. Система буде мати рішення тільки в тому випадку, якщо ранг її матриці буде дорівнювати рангу розширеної матриці. Що таке ранг? Це число незалежних рядків системи. У нашому випадку ранг матриці 2. Матриця А складатиметься з коефіцієнтів, які перебувають біля невідомих, а в розширену матрицю вписуються і коефіцієнти, що знаходяться за знаком «=».
Чому СЛАР можна уявити в матричному вигляді
Виходячи з критерію сумісності по доведеною теоремою Кронекера-Капеллі, систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна представити в матричному вигляді. Застосовуючи каскадний метод Гаусса, можна вирішити матрицю і отримати єдиний достовірний відповідь на всю систему. Якщо ранг звичайної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці, але при цьому менше кількості невідомих, тоді система має нескінченну кількість відповідей.
перетворення матриць
Перш ніж переходити до вирішення матриць, необхідно знати, які дії можна проводити над їх елементами. Існує кілька елементарних перетворень:
- Переписуючи систему в матричний вигляд і здійснюючи її рішення, можна множити все елементи ряду на один і той же коефіцієнт.
- Для того щоб перетворити матрицю в канонічний вид, можна міняти місцями два паралельних ряди. Канонічний вид має на увазі, що всі елементи матриці, які розташовані по головній діагоналі, стають одиницями, а решта - нулями.
- Відповідні елементи паралельних рядів матриці можна додавати один до іншого.
Метод Жордана-Гаусса
Суть рішення систем лінійних однорідних і неоднорідних рівнянь методом Гаусса в тому, щоб поступово виключити невідомі. Припустимо, у нас є система з двох рівнянь, в яких дві невідомі. Щоб їх знайти, необхідно перевірити систему на сумісність. Рівняння методом Гаусса вирішується дуже просто. Необхідно виписати коефіцієнти, що знаходяться біля кожного невідомого в матричний вигляд. Для вирішення системи знадобиться виписати розширену матрицю. Якщо одне з рівнянь містить меншу кількість невідомих, тоді на місце пропущеного елемента необхідно поставити «0». До матриці застосовуються всі відомі методи перетворення: множення, ділення на число, додавання відповідних елементів рядів один до одного і інші. Виходить, що в кожному ряду необхідно залишити одну змінну зі значенням «1», решта привести до нульового увазі. Для більш точного розуміння необхідно розглянути метод Гаусса на прикладах.
Простий приклад рішення системи 2х2
Для початку візьмемо простеньку систему алгебраїчних рівнянь, в якій буде 2 невідомих.
Перепишемо її в розширену матрицю.
Щоб вирішити дану систему лінійних рівнянь, існує потреба у проведенні всього дві операції. Нам необхідно привести матрицю до канонічного вигляду, щоб по головній діагоналі стояли одиниці. Так, переводячи з матричного виду назад в систему, ми отримаємо рівняння: 1x + 0y = b1 і 0x + 1y = b2, де b1 і b2 - отримані відповіді в процесі вирішення.
- Перша дія при вирішенні розширеної матриці буде таким: перший ряд необхідно помножити на -7 і додати відповідно відповідають елементи до другої рядку, щоб позбутися від одного невідомого в другому рівнянні.
- Так як рішення рівнянь методом Гаусса має на увазі приведення матриці до канонічного вигляду, тоді необхідно і з першим рівнянням виконати ті ж операції і прибрати другу змінну. Для цього другий рядок віднімаємо від першої і отримуємо необхідну відповідь - рішення СЛАР. Або, як показано на малюнку, другий рядок множимо на коефіцієнт -1 і додаємо до першої рядку елементи другого ряду. Це одне і теж.
Як бачимо, наша система вирішена методом Жордана-Гаусса. Переписуємо її в необхідну форму: x = -5, y = 7.
Приклад рішення СЛАР 3х3
Припустимо, що у нас є більш складна система лінійних рівнянь. Метод Гаусса дає можливість вирахувати відповідь навіть для самої, здавалося б, заплутаної системи. Тому, щоб більш глибоко вникнути в методику розрахунку, можна переходити до більш складного прикладу з трьома невідомими.
Як і в попередньому прикладі, переписуємо систему в вигляд розширеної матриці і починаємо наводити її до канонічного вигляду.
Для вирішення цієї системи знадобиться провести набагато більше дій, ніж у попередньому прикладі.
- Спочатку необхідно зробити в першому стовпці один одиничний елемент і решта нулі. Для цього множимо перше рівняння на -1 і додаємо до нього друге рівняння. Важливо запам`ятати, що перший рядок ми переписуємо в первісному вигляді, а другу - вже в зміненому.
- Далі прибираємо цю ж першу невідому з третього рівняння. Для цього елементи першого рядка множимо на -2 і додаємо їх до третього ряду. Тепер перша і друга рядки переписуються в первісному вигляді, а третя - вже зі змінами. Як видно з результату, ми отримали першу одиницю на початку головної діагоналі матриці і інші нулі. Ще кілька дій, і система рівнянь методом Гаусса буде достовірно вирішена.
- Тепер необхідно виконати операції і над іншими елементами рядів. Третє і четверте дію можна об`єднати в одне. Потрібно розділити другу і третю рядок на -1, щоб позбутися від мінусових одиниць по діагоналі. Третій рядок ми вже привели до необхідного виду.
- Далі приведемо до канонічного виду другий рядок. Для цього елементи третього ряду множимо на -3 і додаємо їх до другій сходинці матриці. З результату видно, що другий рядок теж приведена до необхідної нам формі. Залишилося виконати ще кілька операцій і прибрати коефіцієнти невідомих з першого рядка.
- Щоб з другого елементу рядка зробити 0, необхідно помножити третій рядок на -3 і додати її до першого ряду.
- Наступним вирішальним етапом буде поповнення до першої рядку необхідні елементи другого ряду. Так ми отримуємо канонічний вид матриці, а, відповідно, і відповідь.
Як видно, рішення рівнянь методом Гаусса досить просте.
Приклад рішення системи рівнянь 4х4
Деякі більш складні системи рівнянь можна вирішити методом Гаусса за допомогою комп`ютерних програм. Необхідно вбити в існуючі порожні клітинки коефіцієнти при невідомих, і програма сама покроково розрахує необхідний результат, докладно описуючи кожну дію.
Нижче описана покрокова інструкція рішення такого прикладу.
• У першій дії в порожні клітинки вписуються вільні коефіцієнти і числа при невідомих. Таким чином, виходить така ж розширена матриця, яку ми пишемо вручну.
• Далі змінюються всі рядки місцями, щоб можна було висловити по головній діагоналі поодинокі елементи.
• І виробляються всі необхідні арифметичні операції, щоб привести розширену матрицю до канонічного вигляду. Необхідно розуміти, що не завжди відповідь на систему рівнянь - це цілі числа. Іноді рішення може бути з дрібних чисел.
Перевірка правильності рішення
Метод Жордана-Гаусса передбачає перевірку правильності результату. Для того щоб дізнатися, чи правильно пораховані коефіцієнти, необхідно всього-на-всього підставити результат в початкову систему рівнянь. Ліва сторона рівняння повинна відповідати правій стороні, що знаходиться за знаком "дорівнює". Якщо відповіді не збігаються, тоді необхідно перераховувати заново систему або спробувати застосувати до неї інший відомий вам метод вирішення СЛАР, такий як підстановка або почленное віднімання і додавання. Адже математика - це наука, яка має величезну кількість різних методик рішення. Але пам`ятайте: результат повинен бути завжди один і той же, незалежно від того, який метод вирішення ви використовували.
Метод Гаусса: найчастіші помилки при вирішенні СЛАР
Під час вирішення лінійних систем рівнянь найчастіше виникають такі помилки, як неправильний перенесення коефіцієнтів в матричний вигляд. Бувають системи, в яких відсутні в одному з рівнянь деякі невідомі, тоді, переносячи дані в розширену матрицю, їх можна втратити. В результаті при вирішенні даної системи результат може не відповідати дійсному.
Ще однією з головних помилок може бути неправильне виписування кінцевого результату. Потрібно чітко розуміти, що перший коефіцієнт буде відповідати першому невідомому з системи, другий - другого, і так далі.
Метод Гаусса докладно описує рішення лінійних рівнянь. Завдяки йому легко зробити необхідні операції і знайти вірний результат. Крім того, це універсальний засіб для пошуку достовірної відповіді на рівняння будь-якої складності. Може бути, тому його так часто використовують при вирішенні СЛАР.