Паралелепіпед - найпоширеніша фігура з тих, що оточують людей. Більшість приміщень є саме його. Особливо важливо знати площу паралелепіпеда, хоча б його бічних граней, під час ремонту. Адже потрібно точно знати, скільки матеріалу придбати.
Що він собою являє?
Це призма з чотирикутним підставою. Тому у неї чотири бічних межі, які є паралелограма. Тобто таке тіло має всього 6 граней.
Для визначення паралелепіпеда в просторі у нього визначають площу і обсяг. Перша може бути як окремо для кожної грані, так і для всієї поверхні. До того ж виділяють ще і площа тільки бічних граней.
Які існують види паралелепіпедів?
Похилий. Такий, у якого бічні грані утворюють з основою кут, відмінний від 90 градусів. У нього верхній і нижній чотирикутники чи не лежать один навпроти одного, а зрушені.
Прямий. Паралелепіпед, бічні грані якого є прямокутниками, а в основі лежить фігура з довільними величинами кутів.
Прямокутний. Окремий випадок попереднього вигляду: в його основі знаходиться прямокутник.
Куб. Особливий тип прямого паралелепіпеда, в якому всі грані представлені квадратами.
Деякі математичні особливості паралелепіпеда
Може виникнути ситуація, коли вони виявляться корисними в тому, щоб знайти площу паралелепіпеда.
- Грані, які лежать навпроти один одного, не тільки паралельні, але і рівні.
- Діагоналі паралелепіпеда точкою перетину діляться на рівні частини.
- Більш загальний випадок, якщо відрізок з`єднує дві точки на поверхні тіла і проходить через точку перетину діагоналей, то він ділиться цією точкою навпіл.
- Для прямокутного паралелепіпеда справедливо рівність, в якому в одній його частині варто квадрат діагоналі, а в іншій - сума квадратів його висоти, ширини і довжини.
Площі прямого паралелепіпеда
Якщо позначити висоту тіла як «н», а периметр підстави буквою Рос, то вся бокова поверхня може бути обчислена за формулою:
Sбік = Рос * н
Використовуючи цю формулу і визначивши площу підстави, можна порахувати повну площу:
S = Sбік + 2 * Sос
В останньому записі Sос., тобто площа підстави паралелепіпеда, може бути обчислена за формулою для паралелограма. Іншими словами, потрібно вираз, в якому потрібно перемножити сторону і висоту, опущену на неї.
Площі прямокутного паралелепіпеда
Прийнято стандартне позначення довжини, ширини і висоти такого тіла літерами «а», «в» і «з» відповідно. Площа бічної поверхні буде виражатися формулою:
Sбік= 2 * с * (а + в)
Щоб обчислити повну площу прямокутного паралелепіпеда, потрібно такий вислів:
S = 2 * (ав + вс + ас)
Якщо виявиться необхідним дізнатися площа його заснування, то досить згадати, що це прямокутник, а значить, досить перемножити «а» і «в».
площі куба
Його бокова поверхня утворена чотирма квадратами. Значить, щоб її знайти, потрібно скористатися відомою для квадрата формулою і помножити її на чотири.
Sбік = 4 * а2
А через те, що його заснування - такі ж квадрати, повна площа визначиться за формулою:
S = 6 * а2
Площі похилого паралелепіпеда
Оскільки його межі - це паралелограми, то потрібно дізнатися площа кожного з них і потім скласти. На щастя, протилежні рівні. Тому обчислювати площі потрібно тільки три рази, а потім помножити їх на два. Якщо записати це в вигляді формули, то отримаємо таке:
Sбік = (S1 + S2) * 2,
S = (S1 + S2 + S3) * 2
тут S1 і S2 є площами двох бічних граней, а S3 - основи.
Завдання по темі
Завдання перше. Умова. Необхідно дізнатися довжину діагоналі куба, якщо площа всієї його поверхні дорівнює 200 мм2.
Рішення. Почати потрібно з отримання виразу для шуканої величини. Її квадрат дорівнює трьом квадратах боку куба. Це означає, що діагональ дорівнює «а», помноженої на корінь з 3.
Але сторона куба невідома. Тут потрібно скористатися тим, що відома площа всієї поверхні. З формули виходить, що «а» одно квадратному кореню з приватного S і 6.
Залишилося тільки порахувати. Ребро куба виявляється рівним radic- (200/6), що дорівнює 10 / radic-3 (мм). Тоді діагональ вийде рівною (10 / radic-3) * radic-3 = 10 (мм).
Відповідь. Діагональ куба дорівнює 10 мм.
Завдання друге. Умова. необхідно обчислити площа поверхні куба, якщо відомо, що його обсяг дорівнює 343 см2.
Рішення. Буде потрібно скористатися тією ж формулою для площі куба. У ній знову невідомо ребро тіла. Але зате дан обсяг. З формули для куба дуже просто дізнатися «а». Воно дорівнюватиме кубічному кореню з 343. Простий підрахунок дає таке значення для ребра: а = 7 см.
Тепер залишилося тільки порахувати його квадрат і помножити на 6. а2 = 72 = 49, звідси площа дорівнюватиме 49 * 6 = 294 (см2).
Відповідь. S = 294 см2.
Завдання третє. Умова. Дана правильна чотирикутна призма зі стороною підстави 20 дм. Необхідно знайти її бічне ребро. Відомо, що площа паралелепіпеда дорівнює 1760 дм2.
Рішення. Починати міркування потрібно з формули для площі всієї поверхні тіла. Тільки в ній потрібно врахувати, що ребра «а» і «в» рівні. Це випливає з твердження про те, що призма правильна. Значить, в його основі лежить чотирикутник з рівними сторонами. Звідси а = в = 20 дм.
З огляду на цю обставину, формула площі спроститься до такої:
S = 2 * (а2 + 2ас).
У ній відомо все, крім шуканої величини «з», яка якраз і є бічним ребром паралелепіпеда. Щоб його знайти, потрібно виконати перетворення:
- розділити всі нерівність на 2;
- потім перенести доданки так, щоб зліва виявилося доданок 2ас, а праворуч - поділена на 2 площа і квадрат «а», причому останнє буде зі знаком «-»;
- потім поділити рівність на 2а.
У підсумку вийде вираз:
з = (S / 2 - а2) / (2а)
Після підстановки всіх відомих величин і виконання дій виходить, що бічне ребро дорівнює 12 дм.
відповідь. Бічне ребро «с» дорівнює 12 дм.
Завдання четверте. Умова. Дан прямокутний паралелепіпед. Одна з його граней має площу, рівну 12 см2. Необхідно обчислити довжину ребра, яке перпендикулярно цієї межі. Додаткова умова: обсяг тіла дорівнює 60 см3.
Рішення. Нехай відома площа тієї межі, яка розташована обличчям до спостерігача. Якщо прийняти за позначення стандартні літери для вимірювань паралелепіпеда, то в підставі ребра будуть «а» і «в», вертикальне - «з». Виходячи з цього, площа відомої межі визначиться як твір «а» на «с».
Тепер потрібно скористатися відомим об`ємом. Його формула для прямокутного паралелепіпеда дає твір всіх трьох величин: «а», «в» і «с». Тобто відома площа, помножена на «в», дає обсяг. Звідси виходить, що шукане ребро можна обчислити з рівняння:
12 * в = 60.
Елементарний розрахунок дає результат 5.
Відповідь. Шукане ребро дорівнює 5 см.
Завдання п`яте. Умова. Дан прямий паралелепіпед. В його основі лежить паралелограм зі сторонами 6 і 8 см, гострий кут між якими дорівнює 30ordm-. Бічне ребро має довжину 5 см. Потрібно обчислити повну площу паралелепіпеда.
Рішення. Це той випадок, коли потрібно дізнатися площі всіх граней окремо. Або, точніше, трьох пар: підстава і дві бічні.
Оскільки в основі розташований паралелограм, то його площа обчислюється як твір боку на висоту до неї. Сторона відома, а висота - немає. Її потрібно порахувати. Для цього буде потрібно значення гострого кута. Висота утворює в параллелограмме прямокутний трикутник. У ньому катет дорівнює добутку синуса гострого кута, який йому протіволежіт, на гіпотенузу.
Нехай відома сторона паралелограма - це «а». Тоді висота буде записана як в * sin 30ordm-. Таким чином, площа основи дорівнює а * в * sin 30ordm-.
З бічними гранями все простіше. Вони - прямокутники. Тому їх площі - це твір одного боку на іншу. Перша - а * с, друга - в * с.
Залишилося об`єднати всі в одну формулу і порахувати:
S = 2 * (а * в * sin 30ordm- + а * з + в * с)
Після підстановки всіх величин виходить, що шукана площа дорівнює 188 см2.
Відповідь. S = 188 см2.
