Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те що існують різні види трикутників, у яких є особливі властивості.
Яка фігура називається трикутником?
Освічена трьома крапками і відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізка повинні бути з`єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури «трикутник».
Відмінності в назвах по кутах
Оскільки вони можуть бути гострими, тупими і прямими, то і види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких фігур три.
- Перша. Якщо всі кути трикутника гострі, то він буде мати назву остроугольного. Все логічно.
- Друга. Один з кутів тупий, значить трикутник тупоугольние. Простіше нікуди.
- Третя. Є кут, рівний 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.
Відмінності в назвах по сторонам
Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:
загальний випадок - різнобічний, в якому всі сторони мають довільну довжину;
рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;
рівносторонній, довжини всіх його сторін однакові.
Якщо в завданні не вказано конкретний вид трикутника, то потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.
Властивості, загальні для всіх трикутників
- Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число, рівне 180ordm-. І неважливо, якого він виду. Це правило діє завжди.
- Числове значення будь-якого боку трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більше, ніж їх різниця.
- Кожен зовнішній кут має значення, яке виходить при додаванні двох внутрішніх, не суміжних з нею. Причому він завжди більше, ніж суміжний з ним внутрішній.
- Навпаки меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то і кут буде найбільшим.
Ці властивості справедливі завжди, які б види трикутників ні розглядалися в задачах. Всі інші випливають з конкретних особливостей.
Властивості рівнобедреного трикутника
- Кути, які прилягають до основи, рівні.
- Висота, яка проведена до основи, є також медіаною і бісектрисою.
- Висоти, медіани і бісектриси, які побудовані до бічних сторонах трикутника, відповідно рівні один одному.
Властивості рівностороннього трикутника
Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, трикутник не обов`язково буде рівностороннім.
- Всі його кути рівні між собою і мають значення 60ordm-.
- Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою і бісектрисою. Причому вони всі рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, яка складається з твору боку на квадратний корінь з 3, поділеної на 2.
Властивості прямокутного трикутника
- Два гострих кута дають в сумі значення в 90ordm-.
- Довжина гіпотенузи завжди більше, ніж у будь-якого з катетів.
- Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
- Цьому ж значенню дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30ordm-.
- Висота, яка проведена з вершини зі значенням 90ordm-, має певну математичну залежність від катетів: 1 / н2 = 1 / а2 + 1 / в2. Тут: а, в - катети, н - висота.
Завдання з різними видами трикутників
№1. Дан трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно дізнатися його боку. В якості додаткового умови: бічна сторона менше підстави в 1,2 рази.
Рішення
Значення периметра безпосередньо залежить від тих величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер потрібно згадати ознака трикутника, по якому він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а - бічна сторона, у - підстава.
Настала черга додатковою умовою. Слідуючи йому, виходить друге рівняння: в = 1,2А. Можна виконати підстановку цього виразу в перше. Вийде: 2а + 1,2А = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер нескладно дізнатися підставу. Найкраще це зробити з другої умови: в = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).
Для перевірки можна скласти три значення: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (см). Все вірно.
Відповідь: сторони трикутника рівні 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.
№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.
Рішення. Для пошуку відповіді досить повернутися до того моменту, де були описані властивості трикутника. Так вказана формула для знаходження висоти, медіани і бісектриси рівностороннього трикутника.
н = а * radic-3/2, де н - висота, а - сторона.
Підстановка і обчислення дають такий результат: н = 6 radic-3 (див).
Цю формулу необов`язково запам`ятовувати. Досить згадати, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому - це сторона вихідного, другий катет - половина відомої боку. Тепер потрібно записати теорему Піфагора і вивести формулу для висоти.
Відповідь: висота дорівнює 6 radic-3 см.
№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів в якому становить кут К. Відомі боку МР і КР, вони дорівнюють відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.
Рішення. Якщо зробити креслення, то стає ясно, що МР - гіпотенуза. Причому вона в два рази більше катета КР. Знову потрібно звернутися до властивостей. Одне з них якраз пов`язано з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30ordm-. Значить шуканий кут Р буде дорівнює 60ordm-. Це випливає з іншого властивості, яке стверджує, що сума двох гострих кутів повинна дорівнювати 90ordm-.
Відповідь: кут Р дорівнює 60ordm-.
№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута при підставі дорівнює 110ordm-.
Рішення. Оскільки дана тільки зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить в сумі вони дадуть 180ordm-. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70ordm-. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке ж значення. Залишилося обчислити третій кут. По властивості, загальним для всіх трикутників, сума кутів дорівнює 180ordm-. Значить, третій визначиться як 180ordm- - 70ordm- - 70ordm- = 40ordm-.
Відповідь: кути рівні 70ordm-, 70ordm-, 40ordm-.
№5. Відомо, що в трикутник кут, що лежить навпроти підстави, дорівнює 90ordm-. На підставі відзначена точка. Відрізок, що з`єднує її з прямим кутом, ділить його у відношенні 1 до 4. Потрібно дізнатися всі кути меншого трикутника.
Рішення. Один з кутів можна визначити відразу. оскільки трикутник прямокутний і рівнобедрений, то ті, що лежать в його основі, будуть по 45ordm-, тобто по 90ordm- / 2.
Другий з них допоможе знайти відоме в умови відношення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90ordm- / 5 = 18ordm-. Залишилося дізнатися третій. Для цього з 180ordm- (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45ordm- і 18ordm-. Обчислення нескладні, і вийде: 117ordm-.
Відповідь: 18ordm-, 45ordm-, 117º
