Геометрія - одна з найбільш складних і заплутаних наук. У ній те, що здається на перший погляд очевидним, дуже рідко виявляється правильним. Бісектриси, висоти, медіани, проекції, дотичні - величезна кількість дійсно непростих термінів, заплутатися в яких дуже легко.
Насправді при належному бажанні можна розібратися в теорії будь-якої складності. Коли справа заходить про бісектрисі, медіані і висоті, потрібно розуміти, що вони властиві не тільки трикутниках. На перший погляд це прості лінії, але у кожної з них є свої властивості і функції, знання яких суттєво спрощує вирішення геометричних завдань. Отже, що ж таке бісектриса трикутника?
визначення
Сам термін "бісектриса" відбувається з поєднання латинських слів "два" і "січ", "різати", що вже побічно вказує на її властивості. Зазвичай, коли дітей знайомлять з цим променем, їм пропонується для запам`ятовування коротенька фраза: «Бісектриса - це щур, яка бігає по кутах і ділить кут навпіл». Природно, таке пояснення не підійде для школярів старшого віку, до того ж у них зазвичай запитують не про вугіллі, а про геометричній фігурі. Так що бісектриса трикутника - це промінь, який з`єднує вершину трикутника з протилежною стороною, при цьому розділяючи кут на дві рівні частини. Точка протилежного боку, в яку приходить бісектриса, для довільного трикутника вибирається випадковим чином.
Базові функції і властивості
Основних властивостей у цього променя трохи. По-перше, через те, що бісектриса трикутника ділить кут навпіл, будь-яка точка, що лежить на ній, буде знаходитися на рівній відстані від сторін, що утворюють вершину. По-друге, в кожному трикутнику можна провести три бісектриси, по числу наявних кутів (отже, в тому ж чотирикутнику їх буде вже чотири і так далі). Точка, в якій всі три промені перетнуться, є центром кола, вписаного в трикутник.
властивості ускладнюються
Трохи ускладнимо теорію. Ще одна цікава властивість: бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню утворюють вершину сторін. На перший погляд це складно, але насправді все просто: на запропонованому малюнку RL: LQ = PR: PK. До речі, ця властивість отримало назву "Теорема про бісектрисі" і вперше з`явилося ще в роботах давньогрецького математика Евкліда. Згадали його в одному з російських підручників тільки в першій чверті сімнадцятого століття.
Ще трохи складніше. У чотирикутнику бісектриса відсікає трикутник. На цьому малюнку позначені всі рівні кути для медіани AF.
А ще в чотирикутнику і трапеції бісектриси односторонніх кутів перпендикулярні один одному. На представленому кресленні кут APB становить 90 градусів.
У трикутник
Бісектриса рівнобедреного трикутника - набагато більш корисний промінь. Вона одночасно є не тільки делителем кута навпіл, але і медіаною, і висотою.
Медіана - це відрізок, який виходить з якогось кута і падає на середину протилежної сторони, розділяючи її тим самим на рівні частини. Висота - це перпендикуляр, опущений з вершини на протилежну сторону, саме з її допомогою будь-яке завдання можна звести до простої і примітивної теоремі Піфагора. У даній ситуації бісектриса трикутника дорівнює кореню з різниці квадрата гіпотенузи й іншого катета. До речі, саме ця властивість зустрічається в геометричних задачах найчастіше.
Для закріплення: в даному трикутнику бісектриса FB є медіаною (AB = BC) і висотою (кути FBC і FBA складають 90 градусів).
В загальних рисах
Отже, що ж потрібно запам`ятати? Бісектриса трикутника - це промінь, який ділить його вершину навпіл. На перетині трьох променів знаходиться центр кола, вписаного в даний трикутник (єдиний мінус цього властивості в тому, що воно не має практичної цінності і служить тільки для грамотного виконання креслення). Вона ж ділить протилежну сторону на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню сторін, між якими пройшов цей промінь. У чотирикутнику властивості трохи ускладнюються, але, зізнатися, вони практично не зустрічаються в задачах шкільного рівня, тому зазвичай не зачіпаються в програмі.
Бісектриса рівнобедреного трикутника - межа мріянь будь-якого школяра. Вона одночасно є і медіаною (тобто ділить протилежну сторону навпіл), і висотою (перпендикулярна цій стороні). Рішення задач з такою биссектрисой зводиться до теореми Піфагора.
Знання базових функцій бісектриси, а також основних її властивостей необхідно для вирішення геометричних завдань як середнього, так і високого рівня складності. Насправді зустрічається цей промінь тільки в планіметрії, так що не можна говорити про те, що зазубрювання інформації про нього дозволить справлятися з усіма типами завдань.
