Одна з тем, яка вимагає від учнів максимуму уваги і посидючості, це рішення нерівностей. Такі схожі на рівняння і при цьому сильно від них відрізняються. Тому що до їх вирішення потрібен особливий підхід.
Властивості, які будуть потрібні для знаходження відповіді
Всі вони застосовуються для того, щоб замінити наявну запис рівносильній. Велика їх частина схожа на те, що було в рівняннях. Але є і відмінності.
- Функцію, яка визначена в ОДЗ, або будь-яке число можна додати до обох частин вихідного нерівності.
- Аналогічним чином можливо множення, але тільки на позитивну функцію або число.
- Якщо ця дія виконується з негативними функцією або числом, то знак нерівності потрібно замінити на протилежний.
- Функції, які є невід`ємними, можна зводити в позитивну ступінь.
Іноді рішення нерівностей супроводжується діями, які дають сторонні відповіді. Їх потрібно виключити, порівнявши область ОДЗ і безліч рішень.
Використання методу інтервалів
Його суть полягає в тому, щоб звести нерівність до рівняння, в якому в правій частині стоїть нуль.
- Визначити область, де лежать допустимі значення змінних, тобто ОПЗ.
- Перетворити нерівність за допомогою математичних операцій так, щоб в його правій частині стояв нуль.
- Знак нерівності замінити на «=» і вирішити відповідне рівняння.
- На числової осі відзначити всі відповіді, які вийшли під час вирішення, а також інтервали ОДЗ. При строгому нерівності точки потрібно намалювати виколотими. Якщо присутній знак рівності, то їх належить зафарбувати.
- Визначити знак вихідної функції на кожному інтервалі, отриманому з точок ОДЗ і ділять його відповідей. Якщо при переході через точку знак функції не змінюється, то вона входить у відповідь. В іншому випадку - виключається.
- Граничні для ОДЗ точки потрібно додатково перевірити і тільки потім включати чи ні в відповідь.
- Відповідь, який виходить, потрібно записати у вигляді об`єднаних множин.
Трохи про подвійні нерівності
Вони використовують у записі відразу два знака нерівності. Тобто деяка функція обмежена умовами відразу двічі. Такі нерівності вирішуються, як система з двох, коли вихідне розбите на частини. І в методі інтервалів вказуються відповіді від рішення обох рівнянь.
Для їх вирішення також допустимо використовувати властивості, зазначені вище. З їх допомогою зручно приводити нерівність до рівності нулю.
Як йдуть справи з нерівностями, в яких є модуль?
В цьому випадку рішення нерівностей використовує такі властивості, причому вони справедливі для позитивного значення «а».
Якщо «х» приймає вираз, то справедливі такі заміни:
- | Х | lt; a на -a lt; х lt; a;
- | Х | > A на х lt; -a або х> a.
Якщо нерівності несуворі, то формули теж вірні, тільки в них, крім знака більше або менше, з`являється «=».
Як здійснюється рішення системи нерівностей?
Це знання потрібно в тих випадках, коли дано таке завдання або є запис подвійного нерівності або в запису з`явився модуль. У такій ситуації рішенням будуть такі значення змінних, які задовольняли б всім наявним у запису нерівностей. Якщо таких чисел немає, то система рішень не має.
План, за яким виконується рішення системи нерівностей:
- вирішити кожне з них окремо;
- зобразити на числової осі все інтервали і визначити їх перетину;
- записати відповідь системи, який і буде об`єднанням того, що вийшло в другому пункті.
Як бути з дробовими нерівностями?
Оскільки під час їх вирішення може знадобитися зміна знака нерівності, то потрібно дуже ретельно і уважно виконувати всі пункти плану. Інакше може вийти протилежний відповідь.
Рішення дрібних нерівностей теж використовує метод інтервалів. І план дій буде таким:
- Використовуючи описані властивості, надати дробу такий вид, щоб праворуч від знака залишився тільки нуль.
- Замінити нерівність на «=» і визначити точки, в яких функція буде дорівнює нулю.
- Відзначити їх на координатної осі. При цьому числа, отримані в результаті розрахунків в знаменнику, завжди будуть виколоті. Всі інші - виходячи з умови нерівності.
- Визначити інтервали знакопостоянства.
- У відповідь записати об`єднання тих проміжків, знак яких відповідає тому, який був у вихідному нерівності.
Ситуації, коли в нерівності з`являється ірраціональність
Іншими словами, в запису присутній математичний корінь. Оскільки в шкільному курсі алгебри велика частина завдань йде для квадратного кореня, то саме він і буде розглянуто.
Рішення ірраціональних нерівностей зводиться до того, щоб отримати систему з двох або трьох, які будуть рівносильні вихідному.
| початкове нерівність | умова | рівносильна система |
| radic- n (х) lt; m (х) | m (х) менше або дорівнює 0 | рішень немає |
| m (х) більше 0 | n (х) більше або дорівнює 0 n (х) lt; (M (х))2 | |
| radic- n (х)> m (х) | m (х) більше або дорівнює 0 n (х)> (m (х))2 | |
або n (х) більше або дорівнює 0 m (х) менше 0 | ||
| radic-n (х) le- m (х) | m (х) менше 0 | рішень немає |
| m (х) більше або дорівнює 0 | n (х) більше або дорівнює 0 n (х) le- (m (х))2 | |
| radic-n (х) ge- m (х) | m (х) більше або дорівнює 0 n (х) ge- (m (х))2 | |
або n (х) більше або дорівнює 0 m (х) менше 0 | ||
| radic- n (х) lt; radic- m (х) | n (х) більше або дорівнює 0 n (х) менше m (х) | |
| radic-n (х) * m (х) lt; 0 | n (х) більше 0 m (х) менше 0 | |
| radic-n (х) * m (х)> 0 | n (х) більше 0 m (х) більше 0 | |
| radic-n (х) * m (х) le- 0 | n (х) більше 0 m (х) le-0 | |
або n (х) дорівнює 0 m (х) -будь | ||
| radic-n (х) * m (х) ge- 0 | n (х) більше 0 m (х) ge-0 | |
або n (х) дорівнює 0 m (х) -будь |
Приклади розв`язання різних видів нерівностей
Для того щоб додати наочності в теорію про рішення нерівностей, нижче наведені приклади.
Перший приклад. 2х - 4> 1 + х
Рішення: для того щоб визначити ОДЗ, досить просто уважно подивитися на нерівність. Воно утворене з лінійних функцій, тому визначено при всіх значеннях змінної.
Тепер з обох частин нерівності потрібно відняти (1 + х). Виходить: 2х - 4 - (1 + х)> 0. Після того як будуть розкриті дужки і наведені подібні доданки нерівність прийме такий вигляд: х - 5> 0.
Прирівнявши його до нуля, легко знайти його рішення: х = 5.
Тепер цю точку з цифрою 5, потрібно відзначити на координатному промені. Потім перевірити знаки вихідної функції. На першому інтервалі від мінус нескінченності до 5 можна взяти число 0 і підставити його в нерівність, що вийшло після перетворень. Після розрахунків виходить -7> 0. під дугою інтервалу потрібно підписати знак мінуса.
На наступному інтервалі від 5 до нескінченності можна вибрати число 6. Тоді виходить, що 1> 0. Під дугою підписаний знак «+». Цей другий інтервал і буде відповіддю нерівності.
Відповідь: х лежить в інтервалі (5 infin-).
Другий приклад. Потрібно вирішити систему двох рівнянь: 3х + 3 le- 2х + 1 і 3х - 2 le- 4х + 2.
Рішення. ОДЗ цих нерівностей теж лежить в області будь-яких чисел, оскільки дані лінійні функції.
Дальше действовать потрібно поетапно. Спочатку перетворити перше з нерівностей і прирівняти його до нуля. 3х + 3 - 2х - 1 = 0. Тобто х + 2 = 0. Таким чином, х дорівнює -2.
Друге нерівність набуде вигляду такого рівняння: 3х - 2 - 4х - 2 = 0. Після перетворення: -х - 4 = 0. З нього виходить значення для змінної, рівне -4.
Ці два числа потрібно відзначити на осі, зобразивши інтервали. Оскільки нерівність нестроге, то всі крапки потрібно зафарбувати. Перший інтервал від мінус нескінченності до -4. Нехай буде вибрано число -5. Перше нерівність дасть значення -3, а друге 1. Значить, цей проміжок не входить у відповідь.
Другий інтервал від -4 до -2. Можна вибрати число -3 і підставити його в обидві нерівності. У першому і в другому виходить значення -1. Значить, під дугою «-».
На останньому інтервалі від -2 до нескінченності найкращим числом є нуль. Його і потрібно підставити і знайти значення нерівностей. У першому з них виходить позитивне число, а другому нуль. Цей проміжок теж потрібно виключити з відповіді.
З трьох інтервалів рішенням нерівності є тільки один.
Відповідь: х належить [-4- -2].
Третій приклад. | 1 - х | > 2 | х - 1 |.
Рішення. Насамперед потрібно визначити точки, в яких функції звертаються в нуль. Для лівого цим числом буде 2, для правого - 1. їх потрібно відзначити на промені і визначити проміжки знакопостоянства.
На першому інтервалі, від мінус нескінченності до 1, функція з лівої частини нерівності набуває додатних значень, а з правої - негативні. Під дугою потрібно записати поряд два знака «+» і «-».
Наступний проміжок від 1 до 2. На ньому обидві функції беруть позитивні значення. Значить, під дугою два плюса.
Третій інтервал від 2 до нескінченності дасть такий результат: ліва функція - негативна, права - позитивна.
З урахуванням одержані знаків потрібно обчислити значення нерівності для всіх проміжків.
На першому виходить така нерівність: 2 - х> - 2 (х - 1). Мінус перед двійкою в другому нерівності вийшов з-за того, що ця функція негативна.
Після перетворення нерівність виглядає так: х> 0. Воно відразу дає значення змінної. Тобто з цього інтервалу у відповідь піде тільки проміжок від 0 до 1.
На другому: 2 - х> 2 (х - 1). Перетворення дадуть таку нерівність: -3х + 4 більше нуля. Його нулем буде значення х = 4/3. З урахуванням знака нерівності виходить, що х повинен бути менше цього числа. Значить, цей інтервал зменшується до проміжку від 1 до 4/3.
Останній дає такий запис нерівності: - (2 - х)> 2 (х - 1). Його перетворення призводить до такого: -х> 0. Тобто рівняння вірно при х меншому нуля. Це означає, що на шуканому проміжку нерівність не дає рішень.
На перших двох проміжках граничним виявилося число 1. Його потрібно перевірити окремо. Тобто підставити у вихідне нерівність. Виходить: | 2 - 1 | > 2 | 1 - 1 |. Підрахунок дає що 1 більше 0. Це вірне твердження, тому одиниця входить у відповідь.
Відповідь: х лежить в проміжку (0- 4/3).
