Як провести повне дослідження функції

У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність, асимптоти даній функції.

схема

1. Область існування (ОДЗ) функції.
2. Перетин функції (якщо є) з осями координат, знаки функції, парність, періодичність.
3. Точки розриву (їх рід). Безперервність. Асимптоти вертикальні.
4. Монотонність і точки екстремуму.
5. Точки перегину. Опуклість.
6. Дослідження функції на нескінченності, на асимптоти: горизонтальні і похилі.
7. Побудова графіка.

Дослідження на монотонність

Теорема. якщо функція g неперервна на [A, b], диференційована на (А- b) і g `(x) ge- 0 (g `(x) le-0), xє (а- b), то g зростаюча (спадна) на [A, b].

приклад:

y = 1: 3x³ - 6: 2x² + 5x.

ОДЗ: хєR

y `= x² + 6x + 5.

Знайдемо проміжки постійних знаків y `. оскільки y ` - елементарна функція, то вона може змінювати знаки тільки в точках, де вона перетворюється в нуль або не існує. Її ОДЗ: хєR.

Знайдемо точки, похідна в яких дорівнює 0 (нулю):

y `= 0

x = -1- -5.

Отже, y зростаюча на (-infin-- -5] і на [-1- + Infin-), y спадна на [1 2].

Дослідження на екстремуми

Т. x₀ іменують точкою максимуму (max) на безлічі А функції g тоді, коли приймається в цій точці функцією значення найбільше g (x₀) ge- g (x), xєА.

Т. x₀ іменують точкою мінімуму (min) функції g на безлічі А тоді, коли приймається в цій точці функцією значення найменше g (x₀) le- g (x), xєА.

на безлічі А точки максимуму (max) і мінімуму (min) іменуються точками екстремуму g. Такі екстремуми ще називають абсолютними екстремумами на множині.

якщо x₀ - екстремуму точка функції g в деякому своєму окрузі, то x₀ іменується точкою локального або місцевого екстремуму (max або min) функції g.

Теорема (умова необхідна). якщо x₀ - точка екстремуму (локального) функції g, то похідна не існує або дорівнює в цій т. 0 (нулю).

Визначення. Критичними називають точки з неіснуючої або рівною 0 (нулю) похідною. Саме дані точки підозрілі на екстремум.

Теорема (умова достатня № 1). якщо функція g неперервна в деякому окрузі т. x₀ і знак змінює через цю точку при переході похідна, то дана точка є т. екстремуму g.

Теорема (умова достатня № 2). Нехай функція в деякій окрузі точки дифференцируема двічі і g `= 0, а g` `> 0 (g` ` lt; 0), тоді ця точка є точкою максимуму (max) або мінімуму (min) функції.

Дослідження на опуклість

Функцію називають опуклою вниз (або увігнутою) на інтервалі (А, b) тоді, коли графік функції розташовується не вище січної на проміжку для будь-яких x з (А, b), яка проходить через ці точки.

Функція буде опуклою строго вниз на (А, b), якщо - графік лежить нижче січної на проміжку.

Функцію називають опуклою вгору (опуклою) на проміжку (А, b), якщо для будь-яких точок з (А, b) графік функції на проміжку лежить не нижче січної, що проходить через абсциси в цих точках.

Функція буде строго опуклою вгору на (А, b), Якщо - графік на проміжку лежить вище січної.

Якщо функція в деякій окрузі точки неперервна і через т. x₀ при переході функція змінює опуклість то ця точка називається точкою перегину функції.

Дослідження на асимптоти

Визначення. Пряму називають асимптотой g (x), якщо при нескінченному віддаленні від початку координат до неї наближається точка графіка функції: d (M, l).

Асимптоти можуть бути вертикальні, горизонтальні і похилі.

Вертикальна пряма з рівнянням x = x₀ буде асимптотой вертикальної графіка функції g, якщо в т. x₀ нескінченний розрив, тобто хоча б одна ліва або права межа в цій точці - нескінченність.

Дослідження функції на відрізку на значення найменше та найбільше

Якщо функція неперервна на [A, b], то по теоремі Вейерштрасса існує значення найбільше і значення найменше на цьому відрізку, тобто існують токуляри, які належать [A, b] такі, що g (x₁) le- g (x) lt; g (x₂), X₂ є [a, b]. З теорем про монотонність і екстремуми отримуємо наступну схему дослідження функції на відрізку на найменше та найбільше значення.

план

1. знайти похідну g `(x).
2. Шукати значення функції g в цих точках і на кінцях відрізка.
3. Знайдені значення порівняти і вибрати найменше та найбільше.

Зауваження. Якщо потрібно провести дослідження функції на кінцевому інтервалі (А, b), або на нескінченному (-infin-- B) - (-infin-- + infin-) на max і min значення, то в плані замість значень функції на кінцях проміжку шукають відповідні односторонні межі: замість f (a) шукають f (a +) = limf (x), замість f (b) шукають f (-b). Так можна знайти ОПЗ функції на проміжку, тому що абсолютні екстремуми не обов`язково існують в даному випадку.

Застосування похідної до вирішення прикладних завдань на екстремум деяких величин

1. Висловлюють цю величину через інші величини з умови задачі так, щоб вона була функцією тільки від однієї змінної (якщо це можливо).
2. Визначають проміжок зміни цієї змінної.
3. Проводять дослідження функції на проміжку на max і min значення.

Завдання. Потрібно побудувати майданчик прямокутної форми, використавши а метрів сітки, біля стіни так, щоб з одного боку вона прилягала до стіни, а з інших трьох була огороджена сіткою. При якому співвідношенні сторін площа такого майданчика буде найбільшою?

S = xy - функція 2 змінних.

S = x (a - 2x) - функція 1-й змінної- x є [0- a: 2].

S = ax - 2x²- S `= a - 4x = 0, xєR, x = a: 4.

S (a: 4) = a² : 8 - найбільше значення;

S (0) = 0.

Знайдемо іншу сторону прямокутника: у = A: 2.

Співвідношення сторін: y: x = 2.

Відповідь. Найбільша площа буде дорівнює a²/ 8, якщо сторона, яка паралельна стіні, в 2 рази більше іншого боку.

Дослідження функції. приклади

приклад 1

є y = x³ : (1-x)². Провести дослідження.

1. ОДЗ: Хє (-infin-- 1) U (1 infin-).
2. Загального вигляду функція (ні парна, ні непарна), щодо точки 0 (нуль) не симетрична.
3. Знаки функції. Функція елементарна, тому може змінювати знак тільки в точках, де вона дорівнює 0 (нулю), або не існує.
4. Функція елементарна, тому безперервна на ОДЗ: (-infin-- 1) U (1 infin-).

розрив: х = 1

limx³ : (1 x)² = infin- - Розрив 2-го роду (нескінченний), тому є вертикальна асимптота в точці 1;

х = 1 - рівняння асимптоти вертикальної.

5. y `= x²(3 - x): (1 - x)³-

ОДЗ (y `): x ne- 1

х = 1 - точка критична.

y `= 0

0- 3 - точки критичні.

6. y `` = 6x: (1 - x)⁴-

Критичні т .: 1, 0-

x = 0 - т. Перегину, y (0) = 0.

7. limx³ : (1 - 2x + x²) = infin- - немає горизонтальної асимптоти, але може бути похила.

k = 1 - число;

b = 2 - число.

Отже, є асимптота похила y = x + 2 на + infin- і на - infin-.

приклад 2

дано y = (x² + 1): (x - 1). провести ісследованіе. Побудувати графік.

1. Область існування - вся числова пряма, крім т. x = 1.

2. y перетинає OY (якщо це можливо) в т. (0-g (0)). знаходимо y (0) = -1 - т. перетину OY.

Точки перетину графіка з OX знаходимо, вирішивши рівняння y = 0. Рівняння коренів уже не мав, тому ця функція не перетинає OX.

3. Функція неперіодичних. Розглянемо вираз

g (-x) ne- g (x), і g (-x) ne- -g (x). Це означає, що це загального вигляду функція (ні парна, ні непарна).

4. Т. x = 1 розрив має другого роду. У всіх інших точках функція неперервна.

5. Дослідження функції на екстремум:

(x² - 2x - 1): (x - 1)² = Y `

і вирішимо рівняння y `= 0.

Отже, 1 - radic-2, 1 + radic-2, 1 - точки критичні або точки можливого екстремуму. Ці точки розбивають числову пряму на чотири інтервалу.

На кожному інтервалі похідна має певний знак, який можна встановити методом інтервалів або обчислення значень похідної в окремих точках. на інтервалах (-infin-- 1 - radic-2) U (1 + radic-2- infin-), позитивна похідна, значить, функція растет- якщо xє(1 - radic-2- 1) U (1 1 + radic-2), То функція спадає, тому що на цих інтервалах похідна негативна. Через т. x₁ при переході (рух слід зліва направо) змінює похідна знак з "+" на ";", тому, в цій точці є локальний максимум, знайдемо

y_max = 2 - 2radic-2.

При переході через x₂ змінює похідна знак з ";" на "+", тому, в цій точці є локальний мінімум, причому

y_mix = 2 + 2radic-2.

Т. x = 1 не т. екстремуму.

6. 4: (x - 1)³ = Y ``.

на (-infin-- 1) 0> y ``, слідчо, на цьому інтервалі крива випуклая- якщо xє(1- infin-) - крива увігнута. У точку 1 не визначена функція, тому ця точка не крапка перегину.

7. З результатів пункту 4 випливає, що x = 1 - асимптота вертикальна кривої.

Горизонтальні асимптоти відсутні.

x + 1 = y - асимптота похила даної кривої. Інших асимптот немає.

8. З огляду на проведені дослідження, будуємо графік (див. Малюнок вище).