Слово «інтеграл» походить від латинського integralis - цілісний. Цю назву запропонував в 17 в. учень великого Лейбніца (і також видатний математик) І. Бернуллі. А що таке інтеграл в сучасному розумінні? Нижче ми постараємося дати всебічний відповідь на це питання.
Історичні передумови виникнення поняття інтеграла
На початку 17 ст. в розгляді провідних вчених знаходилося велике число фізичних (насамперед механічних) завдань, в яких потрібно було дослідити залежності одних величин від інших. Найбільш наочними і нагальними проблемами були визначення миттєвої швидкості нерівномірного руху тіла в будь-який момент часу і зворотна цієї завдання знаходження величини шляху, пройденого тілом за певний проміжок часу при такому русі. Сьогодні ми вже знаємо, що таке інтеграл від швидкості руху - це і є пройдений шлях. Але розуміння того, як його обчислювати, знаючи швидкість в кожен момент часу, з`явилося не відразу.
Спочатку з розгляду таких залежностей фізичних величин, наприклад, шляхи від швидкості, було сформовано математичне поняття функції y = f (x). Дослідження властивостей різних функцій призвело до зародження математичного аналізу. Вчені активно шукали способи вивчення властивостей різних функцій.
Як виникло обчислення інтегралів і похідних?
Після створення Декартом основ аналітичної геометрії і появи можливості зображати функціональні залежності графічно в осях декартової системи координат, перед дослідниками встали дві великі нові завдання: як провести дотичну до кривої лінії в будь-який її точці і як знайти площу фігури, обмеженої зверху цієї кривої і прямими, паралельними осях координат. Несподіваним чином виявилося, що перша з них еквівалентна знаходженню миттєвої швидкості, а друга - знаходження пройденого шляху. Адже він при нерівномірному русі зображувався в декартових осях координат «відстань» і «час» деякої кривої лінією.
Генієм Лейбніца і Ньютона в середині 17 ст. були створені методи, що дозволили вирішувати обидві ці задачі. Виявилося, що для проведення дотичної до кривої в точці потрібно знайти величину так званої похідної від функції, яка описує цю криву, в даній її точці, і ця величина виявляється рівною швидкості зміни функції, т. Е. Стосовно залежності «шлях від швидкості» власне миттєвою швидкістю тіла.
Для знаходження же площі, обмеженої кривою лінією, слід обчислити визначений інтеграл, який давав її точну величину. Похідна та інтеграл - основні поняття диференціального й інтегрального числення, є базисом сучасного матаналізу - найважливішого розділу вищої математики.
Площа під кривою лінією
Отже, як же визначити ееточную величину? Спробуємо розкрити процес її обчислення через інтеграл детально, з самих азів.
Нехай f є неперервною на відрізку [ab] функцією. Розглянемо криву у = f (x), зображену на малюнку нижче. Як знайти площу області, обмеженої кривою), віссю х, і лініями х = а і х = b? Тобто площа заштрихованої фігури на малюнку.
Найпростіший випадок, коли f є постійною функціей- тобто, крива є горизонтальна лінія f (X) = k, де k постійна і k ge- 0, як показано на малюнку нижче. 
У цьому випадку область під кривою - всього лише прямокутник з висотою k і шириною (b - a), так що площа визначається як: k middot- (b - а).
Області деяких інших простих фігур, таких як трикутник, трапеція і півколо, даються формулами з планіметрії.
Площа під будь-якої неперервної кривої у = f (х) дається певним інтегралом, який записується так само, як звичайний інтеграл.
ріманова сума
Перш ніж зануритися в докладну відповідь на питання, що таке інтеграл, виділимо деякі основні ідеї.
По-перше, область під кривою ділиться на деяке число n вертикальних смуг досить малої ширини Delta-x. Далі кожна вертикальна смуга замінюється вертикальним прямокутником висотою f (х), шириною Delta-x, і площею f (х) dx. Наступним кроком є формування суми площ всіх цих прямокутників, званої ріманово сумою (дивіться малюнки нижче).
Малюючи наші прямокутники шириною Delta-x, ми можемо брати їх висоту, рівну значенню функції на лівому краю кожної смужки, т. Е. На кривій будуть лежати крайні ліві точки їх верхніх коротких сторін шириною Delta-x. При цьому на ділянці, де функція зростає, і її крива є опуклою, все прямокутники виявляються нижче цієї кривої, т. Е. Їх сума буде свідомо меншої точної величини площі під кривою на цій ділянці (див. Малюнок нижче). Такий спосіб апроксимації називається лівостороннім.
В принципі, можна намалювати аппроксимирующие прямокутники таким чином, щоб на кривій лежали крайні праві точки їх верхніх коротких сторін шириною Delta-x. Тоді вони будуть вище кривої, і наближення площі на цій ділянці виявиться більше її точної величини, як показано на малюнку нижче. Цей спосіб зветься правостороннього.
Але ми можемо також взяти висоту кожного з аппроксимирующих прямокутників, рівній просто деякому значенню функції в довільній точці x *i всередині відповідної смужки Delta-xi (Дивись рис. Нижче). При цьому ми навіть можемо не брати однакову ширину всіх смужок.
Складемо ріманово суму:
Перехід від ріманово суми до певного інтеграла
У вищій математиці доводиться теорема, в якій мовиться, що якщо при необмеженому зростанні числа n аппроксимирующих прямокутників найбільша їх ширина прагне до нуля, то Ріманова сума An прагне до деякого межі A. Число A - одне і те ж при будь-якому способі освіти аппроксимирующих прямокутників і при будь-якому виборі точок x *i.
Наочне пояснення теореми дає малюнок нижче.
З нього видно, що, чим вже прямокутники, тим ближче площа ступінчастою фігури до площі під кривою. При числі прямокутників n-infin- їх ширина Delta-xi-0, а межа A суми An чисельно дорівнює шуканої площі. Ця межа і є певний інтеграл функцііf (х):
Символ інтеграла, що представляє собою видозмінену курсивних літеру S, був введений Лейбніцем. Ставити зверху і знизу позначення інтеграла його межі запропонував Ж. Б. Фур`є. При цьому ясно вказується початковий і кінцевий значення x.
Геометричне і механічне тлумачення певного інтеграла
Спробуємо дати розгорнуту відповідь на питання про те, що таке інтеграл? Розглянемо інтеграл на відрізку [a, b] від позитивної всередині нього функції f (х), причому вважаємо, що верхня межа більше нижнього a
Якщо ординати функції f (х) негативні всередині [a, b], то абсолютне значення інтеграла дорівнює площі між віссю абсцис і графіком y = f (х), сам же інтеграл негативний.
У разі ж одноразового або багаторазового перетину графіком y = f (х) осі абсцис на відрізку [a, b], як показано на малюнку нижче, для обчислення інтеграла потрібно визначити різницю, в якій зменшуване дорівнюватиме сумарною площі ділянок, що знаходяться над віссю абсцис , а від`ємник - сумарною площі ділянок, що знаходяться під нею. 
Так, для функції, показаної на малюнку вище, певний інтеграл від a до b дорівнюватиме (S1 + S3) - (S2 + S4).
Механічне тлумачення певного інтеграла тісно пов`язане з геометричним. Повернемося до розділу «Ріманова сума» і уявімо, що наведений на малюнках графік виражає функцію швидкості v = f (t) при нерівномірному русі матеріальної точки (Вісь абсцис є віссю часу). Тоді площа будь-якого аппроксимирующего прямокутника шириною Delta-t, який ми будували при формуванні ріманово суми, буде виражати наближено шлях точки за час Delta-t, а саме v (t *) Delta-t.
Повна сума площ прямокутників на відрізку від t1= A до t2= B висловить наближено шлях s за час t2- t1 , а межа її, т. е. інтеграл (певний) від a до b функції v = f (t) по dt дасть точне значення шляху s.
Диференціал певного інтеграла
Якщо повернутися до його позначення, то цілком можна припустити, що a = const, а b є конкретним значенням деякої незалежної змінної x. Тоді певний інтеграл з верхньою межею x з конкретного числа перетворюється в функцію від x. Такий інтеграл дорівнює площі фігури під кривою, позначеної точками aABb на малюнку нижче. 
При нерухомій лінії aA і рухомий Bb ця площа стає функцією f (x), причому збільшення Delta-x і раніше відкладаються уздовж осі х, а збільшенням функції f (x) є збільшення площі під кривою.
Припустимо, що ми дали змінної x = b деякий малий приріст Delta-x. Тоді приріст площі фігури aABb складається з площі прямокутника (заштрихован на малюнку) Bb Delta-x і площі фігури BDC під кривою. Площа прямокутника дорівнює Bb Delta-x = f (x) Delta-x, тобто вона є лінійною функцією приросту незалежної змінної. Площа ж фігури BDC свідомо менше, ніж площа прямокутника BDCK = Delta-x Delta-y, і при прагненні Delta-x -0 вона зменшується ще швидше нього. Значить, f (x) Delta-x = f (x) dx є диференціал змінної площі aABb, т. Е. Диференціал певного інтеграла
Звідси можна зробити висновок, що обчислення інтегралів полягає в розвідці функцій по заданих виразів їх диференціалів. Інтегральне числення як раз і являє собою систему способів розвідки таких функцій по відомим їх диференціалом.
Фундаментальне співвідношення інтегрального числення
Воно пов`язує відносини між диференціюванням і інтеграцією і показує, що існує операція, зворотна диференціюванню функції, - її інтегрування. Воно також показує, що якщо будь-яка функція f (х) неперервна, то застосуванням до неї цієї математичної операції можна знайти цілий ансамбль (сукупність, безліч) функцій, первісних для неї (або інакше, знайти невизначений інтеграл від неї).
Нехай функція F (x) є позначенням результату інтегрування функції f (х). Відповідність між цими двома функціями в результаті інтегрування другої з них позначається наступним чином:
Як видно, при символі інтеграла відсутні межі інтегрування. Це означає, що з певного він перетворений в невизначений інтеграл. Слово «невизначений» означає, що результатом операції інтегрування в даному випадку є не одна, а безліч функцій. Адже, крім власне функції F (x), останнім виразами задовольняє і будь-яка функція F (x) + С, де С = const. При цьому мається на увазі, що постійний член в ансамблі первісних можна задавати по свавіллю.
Слід підкреслити, що, якщо інтеграл, визначений від функції, є числом, то невизначений є функція, точніше, їх безліч. Термін «інтегрування» застосовується для визначення операції розвідки обох видів інтегралів.
Основне правило інтегрування
Воно являє собою повну протилежність відповідному правилу для диференціювання. Як же беруться невизначені інтеграли? Приклади цієї процедури ми розглянемо на конкретних функціях.
Давайте подивимося на ступеневу функцію загального вигляду:
f (х) = cxn
Після того як ми зробили це з кожним доданком у вираженні інтегрованої функції (якщо їх декілька), ми додаємо постійну в кінці. Нагадаємо, що взяття похідної від постійної величини знищує її, тому взяття інтеграла від будь-якої функції дасть нам відновлення цієї постійної. Ми позначаємо її С, так як постійна невідома - це може бути будь-яке число! Тому ми можемо мати нескінченно багато виразів для невизначеного інтеграла.
Давайте розглянемо прості невизначені інтеграли, приклади взяття яких показані нижче.
Нехай потрібно знайти інтеграл від функції:
f (х) = 4x2 + 2x - 3.
Почнемо з першого доданка. Ми дивимося на показник ступеня 2 і збільшуємо його на 1, потім ділимо перший член на результуючий показник 3. Отримуємо: 4 (x3) / 3.
Потім ми дивимося на наступний член і робимо те ж саме. Так як він має показник ступеня 1, то результуючий показник буде 2. Таким чином, ми розділимо це доданок на 2: 2 (x2) / 2 = x2.
Останній член має множник х, але ми просто не бачимо його. Ми можемо уявити собі останній доданок як (-3x0). Це еквівалентно (-3) (1). Якщо ми використовуємо правило інтегрування, ми додамо 1 до показника, щоб підняти його до першого ступеня, а потім розділимо останній член на 1. Отримаємо 3x.
Це правило інтегрування працює для всіх значень n, крім n = - 1 (тому що ми не можемо розділити на 0).
Ми розглянули простий приклад знаходження інтеграла. Взагалі ж рішення інтегралів є справою непростою, і в ньому гарною підмогою є вже накопичений в математиці досвід.
таблиці інтегралів
У розділі вище ми бачили, що з кожної формули диференціювання виходить відповідна формула інтегрування. Тому всі можливі їх варіанти вже давно отримані і зведені до відповідних таблиць. Наведена нижче таблиця інтегралів містить формули інтегрування основних алгебраїчних функцій. Ці формули потрібно знати на пам`ять, вивчаючи їх поступово, у міру їх закріплення вправами.
Ще одна таблиця інтегралів містить основні тригонометричні функції:
Як же обчислити визначений інтеграл
Виявляється, зробити це, вміючи інтегрувати, т. Е. Знаходити невизначені інтеграли, дуже просто. І допомагає в цьому формула засновників інтегро-диференціального обчислення Ньютона і Лейбніца
Відповідно до неї, обчислення шуканого інтеграла полягає на першому етапі в знаходженні невизначеного, подальшому обчисленні значення знайденої первісної F (x) при підстановці x, рівного спочатку верхньої межі, потім нижнього і, нарешті, у визначенні різниці цих значень. При цьому константу С годі й записувати. тому вона пропадає при виконанні віднімання.
Розглянемо деякі інтеграли з докладним рішенням.
Знайдемо площу ділянки під одним півхвилею синусоїдою.
Обчислимо заштрихованную площа під гіперболою.
Розглянемо тепер інтеграли з докладним рішенням, використовує в першому прикладі властивість адитивності, а в другому - підстановку проміжної змінної інтегрування. Обчислимо визначений інтеграл від дрібно-раціональної функції:
y = (1 + t) / t3 від t = 1 до t = 2.
Тепер покажемо, як можна спростити взяття інтеграла введенням проміжної змінної. Нехай потрібно обчислити інтеграл від (x + 1)2.
Про невласних інтеграли
Ми говорили про певний інтеграл для кінцевого проміжку [a, b] від безперервної на ньому функції f (х). Але ряд конкретних завдань призводить до необхідності розширити поняття інтеграла на випадок, коли межі (один або обидва) рівні нескінченності, або при розривної функції. Наприклад, при обчисленні площ під кривими, асимптотично наближаються до осей координат. Для поширення поняття інтеграла на цей випадок, крім граничного переходу при обчисленні ріманово суми аппроксимирующих прямокутників, виконується ще один. При такому двократному перехід до межі виходить невласний інтеграл. На противагу йому все інтеграли, про які говорилося вище, називаються власними.
