Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як знайти площу трапеції. Звичайно, найпростіше запам`ятати основні формули. Але іноді простіше скористатися тією, яка виведена з урахуванням всіх особливостей конкретної геометричної фігури.
Кілька слів про трапеції і її елементах
Будь чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, можна назвати трапецією. У загальному випадку вони не рівні і називаються підставами. Більша з них - нижня, а інше - верхнє.
Дві інші сторони виявляються бічними. У довільній трапеції вони мають різну довжину. Якщо ж вони рівні, то фігура стає рівнобедреної.
Якщо раптом кут між будь-бічною стороною і підставою виявиться рівним 90 градусам, то трапеція є прямокутної.
Всі ці особливості можуть допомогти у вирішенні задачі про те, як знайти площу трапеції.
Серед елементів фігури, які можуть виявитися незамінними у вирішенні завдань, можна виділити такі:
- висота, тобто відрізок, перпендикулярний обом підставах;
- середня лінія, яка має своїми кінцями середини бічних сторін.
За якою формулою обчислити площу, якщо відомі підстави і висота?
Цей вислів дається основним, тому що найчастіше можна дізнатися ці величини, навіть коли вони не дані явно. Отже, щоб зрозуміти, як знайти площу трапеції, потрібно скласти обидва підстави і розділити їх на два. Вийшло значення потім ще помножити на значення висоти.
Якщо позначити підстави буквами а1 і а2, висоту - н, то формула для площі буде виглядати так:
S = ((а1 + а2) / 2) * н.
Формула, за якою обчислюється площа, якщо дані її висота і середня лінія
Якщо подивитися уважно на попередню формулу, то легко помітити, що в ній явно присутній значення середньої лінії. А саме, сума підстав, поділена на два. Нехай середня лінія буде позначена буквою l, тоді формула для площі стане такою:
S = l * н.
Можливість знайти площу по діагоналях
Цей спосіб допоможе, якщо відомий кут, утворений ними. Припустимо, що діагоналі позначені буквами д1 і д2, а кути між ними - alpha- і beta-. Тоді формула того, як знайти площу трапеції, буде записана в такий спосіб:
S = ((д1 * д2 ) / 2) * sin alpha-.
У цьому виразі можна легко замінити alpha- на beta-. Результат не зміниться.
Як дізнатися площа, якщо відомі всі сторони фігури?
Бувають і такі ситуації, коли в цій фігурі відомі саме сторони. Ця формула виходить громіздкою і її складно запам`ятати. Але можливо. Нехай бічні сторони мають позначення: в1 і в2, підставу а1 більше, ніж а2. Тоді формула площі прийме такий вигляд:
S = ((а1 + а2) / 2) * radic- {в1 2 - [(А1 - а2)2 + в1 2 - в2 2) / (2 * (а1 - а2))]2}.
Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції
Перший пов`язаний з тим, що в неї можна вписати коло. І, знаючи її радіус (він позначається буквою r), а також кут при основі - gamma-, можна скористатися такою формулою:
S = (4 * r2) / Sin gamma-.
Остання загальна формула, яка заснована на знанні всіх сторін фігури, істотно спроститься за рахунок того, що бічні сторони мають однакове значення:
S = ((а1 + а2) / 2) * radic- {в 2 - [(А1 - а2)2 / (2 * (а1 - а2))]2}.
Методи обчислення площі прямокутної трапеції
Зрозуміло, що підійде будь-який з перерахованих для довільної фігури. Але іноді корисно знати про одну особливість такої трапеції. Вона полягає в тому, що різниця квадратів довжин діагоналей дорівнює різниці, складеної з квадратів підстав.
Часто формули для трапеції забуваються, в той час як вираження для площ прямокутника і трикутника пам`ятаються. Тоді можна застосувати простий спосіб. Розділити трапецію на дві фігури, якщо вона прямокутна, або три. Одна точно буде прямокутником, а друга, або дві, що залишилися, трикутниками. Після обчислення площ цих фігур залишиться їх тільки скласти.
Це досить простий спосіб того, як знайти площу прямокутної трапеції.
Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?
У цьому випадку буде потрібно скористатися виразом, яке дозволяє визначити відстань між точками. Його можна застосувати три рази: для того, щоб дізнатися обидва підстави і одну висоту. А потім просто застосувати першу формулу, яка описана трохи вище.
Для ілюстрації такого методу можна навести такий приклад. Дано вершини з координатами А (5 7), В (8- 7), С (10 1), Д (1 1). Потрібно дізнатися площа фігури.
До того як знайти площу трапеції, за координатами потрібно обчислити довжини підстав. Буде потрібно така формула:
довжина відрізка = radic - {(різниця перших координат точок)2 + (Різниця друге координат точок)2}.
Верхнє підставу позначено АВ, значить, його довжина дорівнюватиме radic - {(8-5)2 + (7-7)2} = radic-9 = 3. Нижня - СД = radic- {(10-1)2 + (1-1)2} = radic-81 = 9.
Тепер потрібно провести висоту з вершини на підставу. Нехай її початок буде в точці А. Кінець відрізка виявиться на нижньому підставі в точці з координатами (5 1), нехай це буде точка Н. Довжина відрізка АН вийде рівною radic - {(5-5)2 + (7-1)2} = radic-36 = 6.
Залишилося тільки підставити що виходили значення в формулу площі трапеції:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Завдання вирішена без одиниць виміру, бо не вказано масштаб координатної сітки. Він може бути як міліметр, так і метр.
приклади завдань
№ 1. Умова. Відомий кут між діагоналями довільній трапеції, він дорівнює 30 градусам. Менша діагональ має значення 3 дм, а друга більше її в 2 рази. Необхідно порахувати площа трапеції.
Рішення. Для початку потрібно дізнатися довжину другої діагоналі, тому що без цього не вдасться порахувати відповідь. Обчислити її нескладно, 3 * 2 = 6 (дм).
Тепер потрібно скористатися відповідною формулою для площі:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30ordm- = 18/2 * frac12- = 4,5 (дм2). Завдання вирішена.
відповідь: площа трапеції дорівнює 4,5 дм2.
№ 2. Умова. У трапеції АВСД підставами є відрізки АТ і ВС. Точка Е - середина сторони СД. З неї проведено перпендикуляр до прямої АВ, кінець цього відрізка позначений буквою Н. Відомо, що довжини АВ і ЄП рівні відповідно 5 і 4 см. Потрібно обчислити площу трапеції.
Рішення. Для початку потрібно зробити креслення. Оскільки значення перпендикуляра менше боку, до якої він проведений, то трапеція буде трохи витягнутої вгору. Так ЄП виявиться всередині фігури.
Щоб чітко побачити хід рішення задачі, потрібно виконати додаткове побудова. А саме, провести пряму, яка буде паралельна стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з АТ - Р, а з продовженням ВС - Х. Фігура ВХРА - паралелограм. Причому його площа дорівнює шуканої. Це пов`язано з тим, що трикутники, які вийшли при додатковому побудові, рівні. Це випливає з рівності боку і двох прилеглих до неї кутів, один - вертикальний, інший - навхрест лежить.
Знайти площу паралелограма можна за формулою, яка містить твір боку і висоти, опущеної на неї.
Таким чином, площа трапеції дорівнює 5 * 4 = 20 см2.
відповідь: S = 20 см2.
№ 3. Умова. Елементи рівнобедреної трапеції мають такі значення: нижня частина - 14 см, верхнє - 4 см, гострий кут - 45ordm-. Потрібно обчислити її площу.
Рішення. Нехай менше підставу має позначення ВС. Висота, проведена з точки В, буде називатися ВН. Оскільки кут 45ordm-, то трикутник АВН вийде прямокутний і рівнобедрений. Значить, АН = ВН. Причому АН дуже легко знайти. Вона дорівнює половині різниці підстав. Тобто (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (см).
Підстави відомі, висота обчислено. Можна користуватися першою формулою, яка тут була розглянута для довільної трапеції.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см2).
відповідь: Шукана площа дорівнює 45 см2.
№ 4. Умова. Є довільна трапеція АВСД. На її бічних сторонах взяті точки О і Е, так що ОЕ паралельна основі АД. Площа трапеції АОЕД в п`ять разів більше, ніж у ЗЗСЄ. Обчислити значення ОЕ, якщо відомі довжини підстав.
Рішення. Буде потрібно провести дві паралельні АВ прямі: першу через точку С, її перетин з ОЕ - точка Т другу через Е і точкою перетину з АТ буде М.
Нехай невідома ОЕ = х. Висота меншою трапеції ЗЗСЄ - н1, більшої АОЕД - н2.
Оскільки площі цих двох трапецій співвідносяться як 1 до 5, то можна записати таке рівність:
(Х + а2) * Н1 = 1/5 (х + а1) * Н2
або
н1 / н2 = (Х + а1) / (5 (х + а2)).
Висоти і сторони трикутників пропорційні з побудови. Тому можна записати ще одне рівність:
н1 / н2 = (Х - а2) / (А1 - х).
У двох останніх записах в лівій частині стоять рівні величини, значить, можна написати, що (х + а1) / (5 (х + а2)) Одно (х - а2) / (А1 - х).
Тут потрібно провести ряд перетворень. Спочатку перемножити хрест навхрест. З`являться дужки, які вкажуть на різницю квадратів, після застосування цієї формули вийде короткий рівняння.
У ньому потрібно розкрити дужки і перенести всі складові з невідомої «х» в ліву сторону, а потім витягти квадратний корінь.
відповідь: Х = radic- {(а1 2 + 5 а2 2 ) / 6}.
