Хтось до слова «прогресія» відноситься насторожено, як до дуже складного терміну з розділів вищої математики. А між тим найпростіша арифметична прогресія - робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а в математиці немає нічого важливішого, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності не так складно, розібравши кілька елементарних понять.
Математична числова послідовність
Числовою послідовністю прийнято називати будь-якої ряд чисел, кожне з яких має свій номер.
а1 - перший член послідовності;
а2 - другий член послідовності;
...
а7 - сьомий член послідовності;
...
аn - n-ний член послідовності;
Однак не будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов`язано з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є якою-небудь функцією від n.
де:
a - значення члена числової послідовності;
n - його порядковий номер;
f (n) - функція, де порядковий номер в числової послідовності n є аргументом.
визначення
Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, в якій кожний наступний член більше (менше) попереднього на одне і те ж число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає наступним чином:
де
an - значення поточного члена арифметичної прогресії;
an + 1 - формула наступного числа;
d - різниця (певне число).
Неважко визначити, що якщо різниця позитивна (d> 0), то кожний наступний член розглянутого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.
приклад:
a1 = 5
d = 3
тоді
номер члена - n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
значення члена - an | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 |
На представленому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву «зростаюча».
У випадках, коли різниця негативна (dlt; 0), кожний наступний член зі зрозумілих причин буде менше попереднього, графік прогресії стане «йти» вниз, арифметична прогресія, відповідно, буде називатися спадної.
Значення заданого члена
Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна зробити це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, потрібно знайти значення п`ятитисячного або восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться у часі. Однак конкретна арифметична прогресія може бути досліджена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії може бути визначено як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.
Формула універсальна для зростаючій і зменшення прогресії.
Приклад розрахунку значення заданого члена
Вирішимо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.
Умова: є арифметична прогресія з параметрами:
- перший член послідовності дорівнює 3;
- різницю числового ряду дорівнює 1,2.
Завдання: необхідно відшукати значення 214 члена
Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:
а (n) = а1 + d (n-1)
Підставивши у вираз дані з умови задачі маємо:
а (214) = а1 + d (n-1)
а (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Відповідь 214-й член послідовності раве 258,6.
Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає не більше 2 рядків.
Сума заданого числа членів
Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень деякого його відрізка. Для цього також немає необхідності обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо число членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися наступною формулою.
Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого і n-ного членів, помноженої на номер члена n і поділеній навпіл. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз з попереднього пункту статті, отримаємо:
приклад розрахунку
Для прикладу вирішимо завдання з наступними умовами:
- перший член послідовності дорівнює нулю;
- різницю дорівнює 0,5.
В задачі потрібно визначити суму членів ряду з 56-го по 101.
Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:
s (n) = (2 a1 + d (n-1)) n / 2
Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши в формулу дані їх умови нашої задачі:
s101 = (2 0 + 0,5 (101-1)) 101/2 = 2 525
Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S101 відняти S55.
s55 = (2 0 + 0,5 (55-1)) 55/2 = 742,5
Таким чином сума арифметичної прогресії для даного прикладу:
s101 - s55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5
Приклад практичного застосування арифметичної прогресії
В кінці статті повернемося до прикладу арифметичної послідовності, наведеним в першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.
Посадка в таксі (в яку входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується з розрахунку 22 руб. / Км. Відстань поїздки 30 км. Розрахувати вартість поїздки.
1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.
30 - 3 = 27 км.
2. Подальший розрахунок - не що інше як розбір арифметичного числового ряду.
Номер члена - число км пробігу (мінус перші три).
Значення члена - сума.
Перший член в даній задачі дорівнюватиме a1 = 50 р.
Різниця прогресії d = 22 р.
цікавить нас число - значення (27 + 1) -ого члена арифметичної прогресії - свідчення лічильника в кінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.
a28 = 50 + 22 (28 - 1) = 644
На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на як завгодно тривалий період. В астрономії в геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються в статистиці та інших прикладних розділах математики.
Інший вид числової послідовності - геометрична
Геометрична прогресія характеризується великими, в порівнянні з арифметичної, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині часто, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається в геометричній прогресії.
N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:
n = 1: 1 2 = 2
n = 2: 2 2 = 4
n = 3: 4 2 = 8
n = 4: 8 2 = 16
n = 5: 16 2 = 32,
n = 6: 32 2 = 64 і так далі ...
де:
bn - значення поточного члена геометричної прогресії;
bn + 1 - формула наступного члена геометричної прогресії;
q - знаменник геометричній прогресії (постійне число).
Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:
Як і у випадку з арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якоїсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступеня n зменшеного на одиницю:
Приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії
b5 = b1 q(5-1) = 3 1,54 = 15,1875
Сума заданого числа членів розраховується так само за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці твори n- ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеній на зменшений на одиницю знаменник:
якщо bn замінити користуючись розглянутої вище формулою, значення суми n перших членів даного числового ряду набуде вигляду:
Приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, рівного 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.
s8 = 1 (38-1) / (3-1) = 3 280