Є середні величини, неправильне визначення яких увійшло в анекдот або в притчу. Будь-які невірно зроблені розрахунки коментуються розхожою Загальнозрозумілій посиланням на такий явно абсурдний результат. У кожного, наприклад, викличе посмішку саркастичного розуміння фраза "середня температура по лікарні". Однак ті ж знавці нерідко, не замислюючись, складають швидкості на окремих відрізках шляху і ділять нараховану суму на число цих ділянок, щоб отримати настільки ж безглуздий відповідь. Нагадаємо з курсу механіки середньої школи, як знайти середню швидкість правильним, а не абсурдним способом.
Аналог "середньої температури" в механіці
В яких випадках каверзно сформульовані умови задачі підштовхують нас до поспішного необдуманого відповіді? Якщо йдеться про "частинах" шляху, але не вказується їх довжина, це насторожує навіть мало досвідченого в рішенні подібних прикладів людини. А ось якщо в завданні прямо вказується на рівні проміжки, наприклад, "першу половину шляху поїзд слідував зі швидкістю ...", або "першу третину шляху пішохід прокрокував зі швидкістю ...", і далі детально розписується, як об`ёкт пересувався на що залишилися рівних ділянках, тобто відомо співвідношення S1 = S2 = ... = Sn і точні значення швидкостей v1, v2, ... vn, наше мислення нерідко дає непрощенну осічку. Вважається середнє арифметичне швидкостей, тобто всі відомі значення vскладаються і діляться на n. У підсумку відповідь виходить невірний.
Прості "формули" розрахунку величин при рівномірному русі
І для всього пройденого шляху, і для окремих його ділянок у разі усереднення швидкості справедливі співвідношення, написані для рівномірного руху:
- S = vt (1), "формула" шляху;
- t = S / v (2), "Формула" розрахунку часу руху-
- v = S / t (3), "формула" визначення середньої швидкості на ділянці шляху S, пройденому за час t.
Тобто для знаходження шуканої величини v з використанням співвідношення (3) нам потрібно точно знати дві інші. Саме вирішуючи питання, як знайти середню швидкість руху, ми перш за все повинні визначити, який весь пройдений шлях S і яке весь час руху t.
Математичне виявлення прихованої помилки
У вирішуваному нами прикладі пройдений тілом (поїздом або пішоходом) шлях буде дорівнює добутку nSn (так як ми n раз складаємо рівні ділянки шляху, в наведених прикладах - половинки, n = 2, або третини, n = 3). Про повне ж часу руху нам нічого не відомо. Як визначити середню швидкість, якщо знаменник дробу (3) явно не заданий? Скористаємося співвідношенням (2), для кожної ділянки шляху визначимо tn = Sn: vn. Суму розрахованих таким чином проміжків часу запишемо під рискою дробу (3). Ясно, що, для того щоб позбутися від знаків "+", потрібно приводити все Sn: vn до спільного знаменника. В результаті виходить "двоповерхова дріб". Далі користуємося правилом: знаменник знаменника йде в чисельник. У підсумку, для завдання з поїздом після скорочення на Snмаємо vср = nv1v2: v1 + v2, n = 2 (4). Для випадку з пішоходом питання -, як знайти середню швидкість, вирішується ще складніше: vср = nv1v2v3: v1v2 + v2v3 + v3v1, n = 3(5).
Явне підтвердження помилки "в числах"
Для того щоб "на пальцях" підтвердити, що визначення середнього арифметичного - хибний шлях при розрахунку vср, конкретизуємо приклад, замінивши абстрактні букви числами. Для поїзда візьмемо швидкості 40 км / год і 60 км / год (Помилковий відповідь - 50 км / год). Для пішохода - 5, 6 і 4 км / год (середнє арифметичне - 5 км / год). Неважко переконатися, підставивши значення в співвідношення (4) і (5), що вірними відповідями будуть для локомотива 48 км / год і для людини - 4, (864) км / год (Періодична десяткова дріб, результат математично не дуже гарний).
Коли середнє арифметичне "не підводить"
Якщо завдання формулюється так: "За рівні проміжки часу тіло рухалося спочатку зі швидкістю v1, потім v2, v3 і так далі ", швидку відповідь на питання, як знайти середню швидкість, може бути знайдений неправильним способом. Надамо читачеві самостійно в цьому переконатися, підсумувавши в знаменнику рівні проміжки часу і скориставшись в чисельнику vср співвідношенням (1). Це, мабуть, єдиний випадок, коли помилковий метод призводить до отримання коректного результату. Але для гарантовано точних розрахунків потрібно користуватися єдино правильним алгоритмом, незмінно звертаючись до дробу vср = S: t.
Алгоритм на всі випадки життя
Для того щоб напевно уникнути помилки, при вирішенні питання, як знайти середню швидкість, досить запам`ятати і виконати просту послідовність дій:
- визначити весь шлях, підсумувавши довжини окремих його ділянок;
- встановити весь час шляху;
- поділити перший результат на другий, невідомі, які не задані в завданні величини при цьому (за умови коректного формулювання умов) скорочуються.
У статті розглянуті найпростіші випадки, коли вихідні дані наводяться для рівних часток часу або рівних ділянок шляху. У загальному випадку співвідношення хронологічних проміжків або пройдених тілом відстаней може бути самим довільним (але при цьому математично певним, вираженим конкретним цілим числом або дробом). Правило звернення до співвідношення vср = S: t абсолютно універсально і ніколи не підводить, хоч би складні на перший погляд алгебраїчні перетворення ні доводилося виконувати.
Наостанок зазначимо: для спостережних читачів не залишилася непоміченою практична значущість використання вірного алгоритму. Правильно розрахована середня швидкість в наведених прикладах виявилася трохи нижче "середньої температури" на трасі. Тому помилковий алгоритм для систем, що фіксують перевищення швидкості, означав би більше число помилкових постанов ДАІ, які висилаються в "листах щастя" водіям.
