Числа бувають різними: натуральними, природними, раціональними, цілими і дробовими, позитивними і негативними, комплексними і простими, непарними і парними, дійсними і ін. З даної статті можна дізнатися, що таке прості числа.
Які числа називають англійським словом "Симпли"?
Дуже часто школярі на один з найбільш нескладних на перший погляд питань математики, про те що таке просте число, не знають, як відповісти. Вони часто плутають прості числа з натуральними (тобто числа, які використовуються людьми при рахунку предметів, при цьому в деяких джерелах вони починаються з нуля, а в інших - з одиниці). Але це зовсім два різних поняття. Прості числа - це, натуральні, тобто цілі і позитивні числа, які більше одиниці і які мають всього лише 2 натуральних дільники. При цьому один з цих дільників - це дане число, а другий - одиниця. Наприклад, три - це просте число, оскільки він не ділиться без залишку на жодне інше число, окрім себе самого і одиниці.
складові числа
Протилежністю простих чисел є складові. Вони також є натуральним, також більше одиниці, але мають не два, а більшу кількість дільників. Так, наприклад, числа 4, 6, 8, 9 і т. Д. Є натуральними, складовими, але не простими числами. Як бачите - це в основному парні числа, але не всі. А ось "двійка" - парне число і "перший номер" в ряду простих чисел.
послідовність
Щоб побудувати ряд простих чисел, необхідно здійснити відбір з усіх натуральних чисел з урахуванням їх визначення, тобто потрібно діяти методом від противного. Необхідно розглянути кожне з натуральних позитивних чисел на предмет того, чи має воно більше двох подільників. Давайте спробуємо побудувати ряд (послідовність), який складають прості числа. Список починається з двох, наступним йде три, оскільки воно ділиться тільки на себе і на одиницю. Розглянемо число чотири. Чи має воно подільники, крім чотирьох і одиниці? Так, це число 2. Значить, чотири не є простим числом. П`ять також є простим (воно, крім 1 і 5, ні на яке інше число не ділиться), а ось шість - ділиться. І взагалі, якщо простежити за всіма парними числами, то можна помітити, що крім "двох", жодне з них не є простим. Звідси зробимо висновок, що парні числа, крім двох, не є простими. Ще одне відкриття: все числа, що діляться на три, крім самої трійки, будь то парні або непарні, також не є простими (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 і т.д.). Те ж саме стосується і чисел, які діляться на п`ять і на сім. Всі їх безліч також не є простим. Давайте підіб`ємо підсумки. Отже, до простих однозначним числам відносяться всі непарні числа, крім одиниці і дев`ятки, а з парних - тільки "два". Самі десятки (10, 20, ... 40 і ін.) Не є простими. Двозначні, тризначні і т. Д. Прості числа можна визначити, виходячи з вищевикладених принципів: якщо вони не мають інших дільників, крім їх самих і одиниці.
Теорії про властивості простих чисел
Існує наука, яка вивчає властивості цілих чисел, в тому числі і простих. Це розділ математики, яка називається вищої. Крім властивостей цілих чисел, вона також займається алгебраїчними, трансцендентними числами, а також функціями різного походження, пов`язаними з арифметикою цих чисел. У цих дослідженнях, крім елементарних і алгебраїчних методів, також використовуються аналітичні і геометричні. Саме вивченням простих чисел займається "Теорія чисел".
Прості числа - "будівельні блоки" натуральних чисел
У арифметиці є теорема, яка називається основною. Відповідно до неї, будь-яке натуральне число, крім одиниці, можна представити у вигляді добутку, множителями якого є прості числа, причому порядок проходження множників единственен, цей означає, що і спосіб представлення єдиний. Він називається розкладанням натурального числа на прості множники. Є й інша назва цього процесу - факторизація чисел. Виходячи з цього, прості числа можна назвати "будівельним матеріалом", "блоками" для побудови натуральних чисел.
Пошук простих чисел. тести простоти
Безліч вчених різних часів намагалися знайти якісь принципи (системи) для знаходження списку простих чисел. Науці відомі системи, які називаються решето Аткіна, решето Сундартама, решето Ератосфена. Однак вони не дають якихось істотних результатів, і для знаходження простих чисел використовується проста перевірка. Також математиками були створені алгоритми. Їх прийнято називати тестами простоти. Наприклад, існує тест, розроблений Рабіном і Міллером. Його використовують криптографи. Також існує тест Каяла-Агравала- Саскія. Однак він, не дивлячись на достатню точність, дуже складний в обчисленні, що принижує його прикладне значення.
Чи має безліч простих чисел межа?
Про те, що безліч простих є нескінченністю, писав у книзі "Початки" давньогрецький вчений Евклід. Він говорив так: "Давайте на хвилину уявимо, що прості числа мають межа. Тоді давайте перемножимо їх один з одним, а до твору додамо одиницю. Число, отримане в результаті цих простих дій, не може ділитися ні на одне з ряду простих чисел, тому що в залишку завжди буде одиниця. А це означає, що існує якесь інше число, яке ще не включено в список простих чисел. Отже, наше припущення не вірно, і це безліч не може мати межі. Крім докази Евкліда, існує більш сучасна формула, дана швейцарським математиком вісімнадцятого століття Леонардом Ейлером. Згідно з ним, сума, зворотна сумі перших n чисел зростає необмежено з ростом числа n. А ось формула теореми щодо розподілу простих чисел: (n) зростає, як n / ln (n).
Яке найбільше просте число?
Все той же Леонард Ейлер зміг знайти найбільше для свого часу просте число. це 231 - 1 = 2147483647. Однак до 2013 року було обчислено інше найточніше найбільше в списку простих чисел - 257885161 - 1. Його називають числом Мерсенна. Воно містить близько 17 мільйонів десяткових цифр. Як бачите, число, знайдене вченим з вісімнадцятого століття, в кілька разів менше цього. Так і повинно було бути, адже Ейлер вів даний підрахунок вручну, нашому ж сучасникові напевно допомагала обчислювальна машина. Більш того, це число було отримано на факультеті математики в одному з американських факультетів. Числа, названі на честь цього вченого, проходять через тест простоти Люка-Лемера. Однак наука не бажає зупинятися на досягнутому. Фонд Електронних рубежів, який був заснований в 1990 році в Сполучених Штатах Америки (EFF), призначив за перебування великих простих чисел грошову нагороду. І якщо до 2013 року приз покладався тим вченим, які знайдуть їх з числа 1 і 10 мільйонів десяткових чисел, то сьогодні це цифра досягла від 100 мільйонів до 1 мільярда. Розмір призів становить від 150 до 250 тисяч доларів США.
Назви спеціальних простих чисел
Ті числа, які були знайдені завдяки алгоритмам, створеним тими чи іншими вченими, і пройшли тест простоти, називаються спеціальними. Ось деякі з них:
1. Мерссена.
2. Вуда.
3. Ферма.
4. Каллена.
5. Прота.
6. Міллса і ін.
Простота цих чисел, названих в честь вищеперелічених вчених, встановлюється з використанням наступних тестів:
1. Люка-Лемера.
2. Пепина.
3. Різель.
4. Біллхарта - Лемера - Селфрідж і ін.
Сучасна наука не зупиняється на досягнутому, і, ймовірно, в найближчому майбутньому світ дізнається імена тих, хто зміг отримати приз в 250.000 доларів, знайшовши найбільше просте число.
