У цій статті мова піде про фізичних величинах, які характеризують обертальний рух тіла: кутова швидкість, кутове переміщення, кутове прискорення, момент сил.
Твердим тілом називають сукупність жорстко пов`язаних матеріальних точок. Коли тверде тіло виробляє обертання щодо будь-якої осі, окремі матеріальні точки, з яких воно складається, рухаються по колах різних радіусів.
За певний проміжок часу, наприклад, за яке тіло зробить один оборот, окремі матеріальні точки, з яких складається тверде тіло, пройдуть різні шляхи, отже, окремі точки матимуть різні лінійні швидкості. Описувати обертання твердого тіла за допомогою лінійних швидкостей окремих матеріальних точок - складно.
кутове переміщення
Однак, аналізуючи рух окремих матеріальних точок, можна встановити, що за однаковий проміжок часу всі вони повертаються навколо осі на однаковий кут. Тобто для опису обертання твердого тіла зручно користуватися такою фізичною величиною, як кутове переміщення:
phi- = phi- (t).
Кутова швидкість і кутове прискорення
Обертальний рух можна охарактеризувати кутовий швидкістю: omega- = phi- / t.
Кутова швидкість характеризує швидкість обертання тіла і дорівнює відношенню зміни кута повороту до часу, протягом якого воно відбулося. Вимірюється в радіанах за секунду: [omega-] = рад / с.
Кутова швидкість обертання пов`язана з лінійною швидкістю наступним співвідношенням: v = Romega-, де R - радіус кола, по якій рухається тіло.
Обертальний рух тіла характеризується ще однією фізичною величиною - кутовим прискоренням, що дорівнює відношенню зміни кутової швидкості до часу, протягом якого воно сталося: epsilon- = omega- / t. Одиниця виміру кутового прискорення: [Epsilon-] = рад / с2.
Кутова швидкість і кутове прискорення є псевдовектори, напрямок яких залежить від напрямку обертання. Його можна визначити за правилом правого гвинта.
Рівномірний обертальний рух
Рівномірний обертальний рух здійснюється з постійною кутовою швидкістю і описується такими рівняннями: epsilon- = 0, omega- = const, phi- = phi-0 + omega-t, де phi-0 - початкове значення кута повороту.
Рівноприскорений обертальний рух
Рівноприскорений обертальний рух відбувається з постійним кутовим прискоренням і описується такими рівняннями: epsilon- = const, omega- = omega-0+ epsilon-t, phi- = phi-0 + omega-0t + epsilon-t2/ 2.
Під час обертання твердого тіла доцентровийприскорення кожної точки цього тіла можна знайти так: ц= v2/ R = (omega-R)2/ R = omega-2R.
Коли обертання твердого тіла прискорене, можна знайти тангенціальне прискорення його точок по формулі: t= v / t = (omega-R) / t = R ( omega- / t) = Repsilon-.
момент сил
Якщо, розглядаючи фізичну проблему, ми маємо справу не з матеріальної точкою, а з твердим тілом, то дія кількох сил на нього, прикладених до різних точок цього тіла, не можна звести до дії однієї сили. В цьому випадку розглядають момент сил.
Моментом сили називають твір сили на плече. Це векторна величина, і її знаходять за формулою: M = RFsinalpha-,де alpha- - кут між векторами R і F. Якщо на тіло діє кілька моментів сил, то їх дію можна замінити їх рівнодіюча, векторної сумою цих моментів: M = M1 + M2 + ... + Mn.
Експерименти і досвід показують, що під дією моменту сили кутова швидкість тіла змінюється, тобто тіло має кутовий прискорення. З`ясуємо, як залежить кутовий прискорення матеріальної точки (сукупності матеріальних точок) від прикладеного моменту сил: F = m , RF = Rma = R2mbeta-, beta- = M / mR2 = M / I, де I = mR2 - момент інерції матеріальної точки. Зауважимо, що момент інерції тіла має залежність як від маси тіла, так і від розташування цієї маси щодо осі обертання.
Приклади розв`язання задач
Завдання 1. Ротор центрифуги робить 2•104 об / хв. Після того як вимкнули двигун, його обертання припиняється через 8 хв. Знайдіть кутовий прискорення, а також число оборотів, яке здійснює ротор з моменту виключення двигуна до його повної зупинки, вважаючи, що рух ротора равноускоренное.
Рішення
Знайдемо кутовий прискорення, з огляду на, що кутова швидкість при рівноприскореному русі описується рівнянням: omega- (t) = omega-0- epsilon-t.
Звідси, враховуючи, що в кінці руху швидкість дорівнює нулю, знайдемо: epsilon- = omega-0/ T = 2pi-n / t.
Перевівши дані завдання в систему одиниць СІ (N = 333 об / с- t = 480 с), отримаємо: epsilon- = 2pi-333/480 = 4,36 (рад / с2).
Кут повороту ротора центрифуги за час t буде: phi- (t) = phi-0 + omega-0t + epsilon-t2/ 2. Учітивая вираз для кутового прискорення і те, що phi-0 = 0, знаходимо: phi- (t) = omega-0t / 2 = pi-nt.
Кількість оборотів ротора за цей час буде: N = phi- (t) / 2pi- = pi-nt / 2pi- = nt = 8•104 (Об.).
Відповідь: кутове прискорення одно 4,36 рад / с2- кількість обертів, зроблене ротором з моменту виключення двигуна до його повної зупинки, так само 8•104 про.
Завдання 2. Диск, що має масу 1 кг і радіус 20 см, обертається з частотою 120 об. в хвилину. Під дією гальмівного пристрою на край диска почала діяти сила тертя 10 Н. Знайдіть час зупинки диска, після того як на нього стала діяти сила тертя.
Рішення
Знайдемо гальмівний момент сил, діючий на диск: M = RF.
Знайдемо кутовий прискорення диска: epsilon- = M / I = FR / mR2 = F / mR.
Знайдемо час, за який диск зупиниться: t = omega-0/ epsilon-, де omega-0 - початкова кутова швидкість диска, яка дорівнює 2pi-v.
Зробимо обчислення: t = 2pi-v / epsilon- = 2pi-vmR / F = 6,28•2•1•0,2 / 10 = 2,5 (с).
Відповідь: час зупинки одно 2,5 с.
