Жюль Анрі Пуанкаре (1854-1912) очолював Паризьку академію наук і був обраний в наукові академії 30 країн світу. Він мав масштаб Леонардо: його інтереси охоплювали фізику, механіку, астрономію, філософію. Математики ж усього світу до сих пір кажуть, що тільки двоє людей в історії по-справжньому знали цю науку: німець Давид Гілберт (1862-1943) і Пуанкаре.
У 1904 році вчений опублікував роботу, що містила серед іншого припущення, що отримало назву теорема Пуанкаре. Пошук докази істинності цього твердження зайняв близько століття.
засновник топології
Математичний геній Пуанкаре вражає кількістю розділів науки, де їм були розроблені теоретичні основи різних процесів і явищ. За часів, коли вчені робили прориви в нові світи космосу і в глибини атома, було не обійтися без єдиної основи загальної теорії світобудови. Такою базою стали раніше невідомі галузі математики.
Пуанкаре шукав новий погляд на небесну механіку, він створив якісну теорію диференціальних рівнянь, теорію автоморфних функцій. Дослідження вченого стали основою спеціальної теорії відносності Ейнштейна. Теорема Пуанкаре про повернення говорила серед іншого про те, що зрозуміти властивості глобальних об`єктів або явищ можна досліджуючи складові їх частки і елементи. Це дало потужний поштовх науковим пошукам у фізиці, хімії, астрономії тощо
Геометрія - галузь математики, де Пуанкаре став визнаним новатором і лідером світового масштабу. Теорія Лобачевського, відкривши нові виміри і простору, ще потребувала ясною і логічною моделі, і Пуанкаре надав ідеям великого російського вченого прикладний характер.
Розвитком неевклідової геометрії стало виникнення топології - галузі математики, яку називали геометрією розміщення. Вона вивчає просторові взаємини точок, ліній, площин, тел і т.д. без урахування їх метричних властивостей. Теорема Пуанкаре, що стала символом самих складних завдань в науці, виникла саме в надрах топології.
Одна з семи завдань тисячоліття
На самому початку XXI століття один з підрозділів американського університету в Кембриджі - математичний інститут, заснований на кошти бізнесмена Лендона Т. Клея - опублікував список Millennium Prize Problems (проблем тисячоліття). Він містив сім пунктів з класичних наукових завдань, за рішення кожної з яких засновувалася премія в мільйон доларів:
• Рівність класів P і NP (про відповідність алгоритмів розв`язання задачі і методів перевірки їх правильності).
• Гіпотеза Ходжа (про зв`язок об`єктів і їх подібності, складеного для їх вивчення з «цеглинок» з певними властивостями).
• гіпотеза Пуанкаре (Всяке одинзв`язного компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфним тривимірної сфері).
• Гіпотеза Рімана (про закономірності розміщення простих чисел).
• Теорія Янга - Міллса (рівняння з області елементарних частинок, що описують різні види взаємодій).
• Існування і гладкість рішень рівнянь Нав`є - Стокса (описують турбулентність течій повітря і рідин).
• Гіпотеза Берча - Свіннертона-Дайера (про рівняння, що описують еліптичні криві).
Кожна ця проблема мала дуже довгу історію, пошуки їх вирішення приводили до виникнення цілих нових наукових напрямів, але єдино правильні відповіді на поставлені питання не знаходилися. Розуміють люди говорили, що гроші фонду Клея в безпеці, але так було лише до 2002 року - з`явився той, хто довів теорему Пуанкаре. Правда, гроші він не взяв.
класичне формулювання
Гіпотеза, для якої знайдено підтвердження, стає теоремою, що має коректне доказ. Саме це сталося з висловленим Пуанкаре припущенням про властивості тривимірних сфер. У більш загальному вигляді цей постулат говорив про гомеоморфними всякого різноманіття розмірності n і сфери розмірності n як необхідну умову їх гомотопічній еквівалентності. Знаменита тепер теорема Пуанкаре відноситься до варіанту, коли n = 3. Саме в тривимірному просторі математиків чекали труднощі, для інших випадків докази були знайдені швидше.
Щоб хоч трохи збагнути сенс теореми Пуанкаре, не обійтися без знайомства з основними поняттями топології.
гомеоморфізм
Топологія, кажучи про гомеоморфізм, визначає його як взаємно-однозначна відповідність між точками однієї й іншої фігури, в деякому сенсі можна відрізнити. Непідготовленому складно дається теорема Пуанкаре. Для чайників можна привести найпопулярніший приклад гомеоморфних фігур - куля і куб, також гомеоморфні бублик і гуртка, але не гуртка і куб. Фігури гомеоморфні, якщо одну фігуру можна отримати довільній деформацією з іншого, причому це перетворення обмежена деякими властивостями поверхні фігури: її не можна рвати, проколювати, розрізати.
Якщо куб роздути, він легко може стати кулею, якщо куля прим`яти зустрічними рухами, можна отримати кубик. Наявність дірки у бублика і дірки, утвореної ручкою у гуртки, робить їх гомеоморфними, та ж дірка унеможливлює перетворення гуртки в кулю або куб.
Можливості підключення
Дірка - важливе поняття, що визначає властивості об`єкта, але категорія абсолютно не математична. Було введено поняття зв`язності. Його містять багато топологічні постулати, в тому числі і теорема Пуанкаре. Простими словами можна говорити так: якщо поверхня кулі обернути петлею з гумової стрічки, вона, стискаючи, зісковзне. Цього не станеться, якщо є отвір, як у тора-бублика, крізь яке можна протягнути цю стрічку. Таким чином визначається головна ознака подібності або відмінності об`єктів.
різноманіття
Якщо об`єкт або простір розділити на безліч складових частин - околиць, оточуючих якусь точку, - то їх спільність називають різноманіттям. Саме таке поняття містить теорема Пуанкаре. Компактність означає кінцеве число елементів. Кожна окрема околиця підпорядковується законам традиційної - евклідовой - геометрії, але разом вони утворюють щось більш складне.
Сама адекватна аналогія цих категорій - поверхню землі. Зображення її поверхні є карти окремих її районів, зібрані в атлас. На глобусі ці зображення знаходять форму кулі, який щодо простору Всесвіту перетворюється в точку.
тривимірна сфера
За визначенням, сфера - сукупність точок, які рівновіддалені від центру - якоїсь фіксованої точки. Одновимірна сфера розташована в двомірному просторі у вигляді кола на площині. Двомірна сфера - поверхня кулі, його «корочка» - сукупність точок у тривимірному просторі і, відповідно, тривимірна сфера - суть теореми Пуанкаре - поверхня чотиривимірного кулі. Уявити такий об`єкт дуже важко, але, кажуть, ми - всередині такого геометричного тіла.
Математики призводять ще і такий опис тривимірної сфери: припустимо, що до нашого звичного простору, вважає необмеженим і визначається трьома координатами (X, Y, Z), додана точка (на нескінченності) таким чином, що в неї завжди можна потрапити, рухаючись в будь-якому напрямку по прямій лінії, тобто будь-яка пряма в цьому просторі стає колом. Кажуть, що є люди, які можуть це уявити і спокійно орієнтуватися в такому світі.
Для них звичайна справа - тривимірний тор. Такий об`єкт можна отримати шляхом двічі повтореного суміщення в одну точку двох, розташованих на протилежних (наприклад, правої і лівої, верхній і нижній) гранях куба. Щоб спробувати уявити тривимірний тор зі звичних нам позицій, слід провести абсолютно нереальний експеримент: необхідно вибрати напрямки, взаємно перпендикулярні, - вгору, вліво і вперед - і почати рухатися в будь-якому з них по прямій. Через якийсь (кінцеве) час з протилежного напрямку ми повернемося в початкову точку.
Таке геометричне тіло має принципове значення, якщо хотіти зрозуміти, що таке теорема Пуанкаре. Доказ Перельмана зводиться до обгрунтування існування в тривимірному просторі лише одного одинзв`язного компактного різноманіття - 3-сфери, інші, як 3-тор, неодносвязние.
Довгий шлях до істини
Минуло понад півстоліття, перш ніж з`явилося рішення теореми Пуанкаре для великих ніж 3 розмірностей. Стівен Смейл (рід. 1930), Джон Роберт Стеллінгс (1935-2008), Ерік Крістофер Зіман (рід. 1925) знайшли рішення для n, рівного 5, 6 і рівного або більше 7. Тільки в 1982 році Майкл Фрідман (рід. Тисяча дев`ятсот п`ятьдесят-один ) був удостоєний вищої математичної нагороди - Філдсовської премії - за доведення теореми Пуанкаре для більш складного випадку: коли n = 4. 
У 2006 році ця нагорода - медаль Філдса - була присвоєна російській математику з Санкт-Петербурга. Григорій Якович Перельман довів теорему Пуанкаре для тривимірного різноманіття і тривимірної сфери. Отримувати нагороду він відмовився.
звичайний геній
Григорій Якович народився 13 червня в Ленінграді, в інтелігентній родині. Батько - інженер-електрик - на початку 90-х поїхав на ПМЖ до Ізраїлю, мати викладала математику в ПТУ. Крім любові до гарної музики, вона прищепила синові захоплення вирішенням завдань і головоломок. У 9-му класі Григорій перевівся в фізико-математичну школу № 239, але ще з 5-го класу він відвідував математичний центр при Палаці піонерів. Перемоги у всесоюзних і міжнародних олімпіадах дозволили вчинити Перельману в Ленінградський університет без іспитів.
Багато фахівців, особливо російські, відзначають що Григорій Якович був підготовлений до небаченого злету високим класом ленінградської школи геометрів, яку він пройшов на мехматі Ленінградського держуніверситету і в аспірантурі при Математичному інституті ім. В.А. Стеклова. ставши кандидатом наук, він став працювати в ньому.
Важкий час 90-х змусило молодого вченого виїхати на роботу в США. Ті, хто знав його тоді, відзначали його аскетизм в побуті, захопленість роботою, прекрасну підготовку і високу ерудицію, які і стали запорукою того, що Перельман довів теорему Пуанкаре. Впритул він зайнявся цією проблемою після повернення в Санкт-Петербург в 1996 році, але почав думати над нею ще в США.
вірний напрямок
Григорій Якович зазначає, що його завжди захоплювали складні проблеми, такі як теорема Пуанкаре. Доказ Перельман став шукати в напрямку, винесеному з бесіди з професором Колумбійського університету Річардом Гамільтоном (рід. 1943). Під час перебування в США він спеціально їздив з іншого міста на лекції цього неординарного вченого. Перельман відзначає прекрасне доброзичливе ставлення професора до молодого математику з Росії. У їхній розмові Гамільтон згадав про потоках Річчі - системі диференціальних рівнянь - як спосіб розв`язання теорем геометризації.
Згодом Перельман намагався зв`язатися з Гамільтоном і обговорити хід роботи над завданням, але не отримав відповіді. Довгий час після повернення на батьківщину Григорій Якович провів наодинці з важким завданням, якої була теорема Пуанкаре. Доказ Перельмана - підсумок величезних зусиль і самозречення.
Гамільтон отетерів, коли побачив, що при перетвореннях кривих під дією потоків Річчі утворюються сингулярні (які звертаються в нескінченність) зони, які не передбачала теорема Пуанкаре. Простими словами, Перельману вдалося нейтралізувати освіту таких зон, і різноманіття благополучно перетворилося в сферу.
потоки Річчі
Одинзв`язного 3-мірне різноманіття наділяється геометрією, вводяться метричні елементи з відстанню і кутами. Легше зрозуміти це на одновимірних многовидах. Гладка замкнута крива на евклідовой площині наділяється в кожній точці дотичним вектором одиничної довжини. При обході кривої вектор повертається з певною кутовою швидкістю, яка визначає кривизну. Де лінія вигнута сильніше, кривизна більше. Кривизна позитивна, якщо вектор швидкості повернутий в бік внутрішньої частини площині, яку ділить наша лінія, і негативна, якщо повернуть зовні. У місцях перегину кривизна дорівнює 0.
Тепер кожній точці кривої призначається вектор, перпендикулярний вектору кутової швидкості, а довжиною дорівнює величині кривизни. Його напрямок всередину при позитивній кривизні і зовні - при негативній. Кожну точку змушуємо рухатися в напрямку і зі швидкістю, що визначаються відповідним вектором. Замкнута крива, проведена в будь-якому місці площині, при такій еволюції перетворюється в коло. Це справедливо для розмірності 3, що й треба було довести.
Немає пророка ...
Він зійшов на свій Еверест, яким визнається математиками теорема Пуанкаре. Доказ Перельман виклав в Інтернет у вигляді трьох невеликих статей. Вони негайно викликали ажіотаж, хоча російський математик не пішов покладеної дорогою - публікація в спеціалізованому журналі в супроводі професійних рецензій. Григорій Якович протягом місяця роз`яснював в університетах США суть свого відкриття, але число до кінця зрозуміли хід його думки збільшувалася дуже повільно.
Лише через чотири роки з`явився висновок найбільших авторитетів: докази російського математика коректні, перша з проблем тисячоліття вирішена.
Епоха соцмереж
Йому довелося пережити ажіотаж і хамство в соцмережах, мовчання тих, кого він поважав, і крики інших, що вчили його життя. Енергійні китайці спочатку оцінили його внесок у вирішення проблеми в 25%, собі і іншим нарахувавши 80! Потім начебто прийшло світове визнання, але витримати таке дано не кожному.
Хочеться вірити: він витримав, і в житті його - гармонія бажань і можливостей.
