Трикутник - добре знайома всім фігура. І це, незважаючи на все різноманіття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупоугольние. Кожен з них чимось відрізняється. Але для будь-якого потрібно дізнаватися площа трикутника.
Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот
Позначення, прийняті в них: боку - а, в, с-висоти на відповідні сторони на, нв, нз.
1. Площа трикутника обчислюється, як твір frac12-, сторони і висоти, опущеної на неї. S = frac12- * а * на. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.
2. Формула Герона, в якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну від повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметр: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = radic- (р * (р - а) * (р - в) * (р - с)).
3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = frac14- * radic- ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в - с)). Вона кілька довше попередньою, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.
Загальні формули, в яких фігурують кути трикутника
Позначення, які потрібні для прочитання формул: alpha-, beta-, gamma- - кути. Вони лежать навпроти сторін а, b, c, відповідно.
1. По ній половина твори двох сторін і синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = frac12- а * в * sin gamma-. Подібним чином слід записати формули для двох інших випадків.
2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні і трьом відомим кутах. S = (а2 * sin beta- * sin gamma-) / (2 sin alpha-).
3. Існує ще формула з однієї відомої стороною і двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з2 / (2 (ctg alpha- + ctg beta-)).
Дві останні формули не є найпростішими. Запам`ятати їх досить складно.
Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних або описаних кіл
Додаткові позначення: r, R - радіуси. Перший використовується для радіуса вписаного кола. Другий - для описаної.
1. Перша формула, по якій обчислюється площа трикутника, пов`язана з напівпериметр. S = р * r. По-іншому її можна записати так: S = frac12- r * (а + в + с).
2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на учетверенное радіус описаного кола. У буквеному вираженні це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).
3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але будуть потрібні значення всіх трьох кутів. S = 2 R2 * sin alpha- * sin beta- * sin gamma-.
Окремий випадок: прямокутний трикутник
Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими буквами а і в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого до нього прямокутника.
Математично це виглядає так: S = frac12- а * в. Вона запам`ятовується найпростіше. Тому що виглядає, як формула для площі прямокутника, тільки з`являється ще дріб, що позначає половину.
Окремий випадок: трикутник
Оскільки у нього дві сторони рівні, то деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, приймає наступний вигляд:
S = frac12- в radic - ((a + frac12- в) * (a - frac12- в)).
Якщо її перетворити, то вона стане коротшим. В такому випадку формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:
S = frac14- в radic- (4 * a2 - b2).
Трохи простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторони і кут між ними. S = frac12- a2 * sin beta-.
Окремий випадок: рівносторонній трикутник
Зазвичай в задачах про нього відома сторона або її можна будь-яким чином дізнатися. Тоді формула, по якій знаходиться площа такого трикутника, виглядає наступним чином:
S = (а2radic-3) / 4.
Задачі на знаходження площі, якщо трикутник зображений на картатій папері
Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслений так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати число клітинок, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і розділити на два.
Коли трикутник гострокутний або тупоугольние, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в вийшла фігурі буде 3 трикутника. Один - той що дано в завданні. А два інших - допоміжні і прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площа прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площа трикутника визначена.
Набагато складніше виявляється ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати в прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.
Приклад завдання на формулу Герона
Умова. У деякого трикутника відомі боку. Вони рівні 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися його площа.
Рішення. Насамперед потрібно було порахувати напівпериметр трикутника. Скласти суму всіх трьох, даних в задачі, чисел і розділити її на два. Прості обчислення призводять до числа 7. Це значення напівпериметр.
Тепер можна обчислювати площу трикутника за вказаною вище формулою. під квадратним коренем виявляється твір чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює radic- (4 * 14) = 2 radic- (14).
Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь з 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа буде дорівнює 7,48.
Відповідь. S = 2 radic-14 см2 або 7,48 см2.
Приклад завдання з прямокутним трикутником
Умова. Один катет прямокутного трикутника більше, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися їх довжини, якщо площа трикутника дорівнює 180 см2.
Рішення. Доведеться вирішити систему з двох рівнянь. Перша пов`язана з площею. Друге - з відношенням катетів, яке дано в завданні.
180 = frac12- а * в;
а = в + 31.
Спочатку значення «а» потрібно підставити в перше рівняння. Вийде: 180 = frac12- (в + 31) * в. У ньому тільки одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для «в»: 9 і - 40. друге число не підходить в якості відповіді, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.
Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані в завданні величини.
Відповідь. Катети трикутника рівні 9 і 40 см.
Завдання на знаходження сторони через площу, сторону і кут трикутника
Умова. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з його сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30ordm-.
Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона «а», відома «в», заданий кут "gamma;". Тоді формула площі можна переписати так:
60 = frac12- а * 15 * sin 30ordm-. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.
Після перетворень «а» виявляється рівним 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Тобто 16.
Відповідь. Шукана сторона дорівнює 16 см.
Завдання про квадраті, вписаному в прямокутний трикутник
Умова. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається з прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?
Рішення. Розглянемо два прямокутних трикутника. Перший - заданий в завданні. Другий - спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, так як мають загальний кут і утворені паралельними прямими.
Тоді відносини їх катетів дорівнюють. Катети меншого трикутника рівні 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника - 42 см і х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.
18/42 = 24 / х, тобто х = 24 * 42/18 = 56 (см).
Тоді площа дорівнює добутку 56 і 42, розділеному на два, тобто тисячі сто сімдесят шість см2.
Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см2.
