Найвідоміша фігура, у якої більше чотирьох кутів - це правильний шестикутник. В геометрії він часто використовується в задачах. А в житті саме такий вигляд мають стільники на зрізі.
Чим він відрізняється від неправильного?
По-перше, шестикутником є фігура з 6 вершинами. По-друге, він може бути опуклим або увігнутим. Перший відрізняється тим, що чотири вершини лежать по одну сторону від прямої, проведеної через дві інші.
По-третє, правильний шестикутник характеризується тим, що всі його сторони рівні. Причому кожен кут фігури теж має однакове значення. Щоб визначити суму всіх його кутів, потрібно скористатися формулою: 180ordm- * (n - 2). Тут n - число вершин фігури, тобто 6. Простий розрахунок дає значення в 720ordm-. Тобто кожен кут дорівнює 120 градусам.
У повсякденній діяльності правильний шестикутник зустрічається в снежинке і гайки. Хіміки бачать її навіть в молекулі бензолу.
Які властивості потрібно знати при вирішенні завдань?
До того, що зазначено вище, слід додати:
- діагоналі фігури, проведені через центр, ділять її на шість трикутників, які є рівносторонніми;
- сторона правильного шестикутника має значення, яке збігається з радіусом описаного навколо нього кола;
- використовуючи таку фігуру, є можливість заповнити площину, причому між ними не вийде пропусків і не буде накладень.
введені позначення
Традиційно сторона правильної геометричної фігури позначається латинською буквою «а». Для вирішення завдань потрібні ще площа і периметр, це S і P відповідно. У правильний шестикутник буває вписане коло або описана біля нього. Тоді вводяться значення для їх радіусів. Позначаються вони відповідно буквами r і R.
У деяких формулах фігурують внутрішній кут, напівпериметр і апофема (що є перпендикуляром до середини будь-якого боку з центру багатокутника). Для них використовуються літери: alpha-, р, m.
Формули, які описують фігуру
Для розрахунку радіуса вписаного кола буде потрібно така: r = (a * radic-3) / 2, причому r = m. Тобто така ж формула буде і для апофеми.
Оскільки периметр шестикутника - це сума всіх сторін, то він визначиться так: P = 6 * a. З урахуванням того, що сторона дорівнює радіусу описаного кола, для периметра існує така формула правильного шестикутника: P = 6 * R. З тієї, що наведена для радіуса вписаного кола, виводиться залежність між а і r. Тоді формула приймає такий вигляд: Р = 4 r * radic-3.
Для площі правильного шестикутника може стати в нагоді така: S = p * r = (a2 * 3 radic-3) / 2.
завдання
№ 1. Умова. Є правильна шестикутна призма, кожне ребро якої дорівнює 4 см. У неї вписано циліндр, обсяг якого необхідно дізнатися.
Рішення. обсяг циліндра визначається як добуток площі основи на висоту. Остання збігається з ребром призми. А вона дорівнює стороні правильного шестикутника. Тобто висота циліндра - теж 4 см.
Щоб дізнатися площа його заснування, потрібно обчислити радіус вписаного в шестикутник окружності. Формула для цього вказана вище. Значить, r = 2radic-3 (див). Тоді площа кола: S = pi- * r2 = 3,14 * (2radic-3)2 = 37,68 (див2).
Залишилося порахувати обсяг: V = 37, 68 * 4 = 150,72 (див3).
відповідь. V = 150,72 см3.
№ 2. Умова. Обчислити радіус кола, яка вписана в правильний шестикутник. Відомо, що його сторона дорівнює radic-3 см. Чому буде дорівнює його периметр?
Рішення. Це завдання вимагає використання двох із зазначених формул. Причому їх необхідно застосовувати, навіть не видозмінюючи, просто підставити значення сторони і обчислити.
Таким чином, радіус вписаного кола виходить рівним 1,5 см. Для периметра справджується таке значення: 6radic-3 см.
Відповідь. r = 1,5 см, Р = 6radic-3 см.
№ 3. Умова. Радіус описаного кола дорівнює 6 см. Яке значення в цьому випадку буде у сторони правильного шестикутника?
Рішення. З формули для радіуса вписаного в шестикутник окружності легко виходить та, по якій потрібно обчислювати сторону. Ясно, що радіус множиться на два і ділиться на корінь з трьох. Необхідно позбутися ірраціональності в знаменнику. Тому результат дій приймає такий вигляд: (12 radic-3) / (radic-3 * radic-3), тобто 4radic-3.
Відповідь. а = 4radic-3 см.
