Перші історики нашої цивілізації - стародавні греки - згадують Єгипет як місце зародження геометрії. Важко з ними не погодитися, знаючи, з якою приголомшливою точністю зведені гігантські усипальниці фараонів. Взаємне розташування площин пірамід, їх пропорції, орієнтація по сторонах світу - досягти такої досконалості було б немислимо, не знаючи основ геометрії.
Саме слово "геометрія" можна перевести як «вимір землі». Причому слово «земля» виступає не як планета - частина Сонячної системи, а як площину. Розмітка площ під ведення сільського господарства, швидше за все, і є самою початкової основою науки про геометричні фігури, їх видах і властивості.
Трикутник - найпростіша просторова фігура планіметрії, що містить усього три точки - вершини (менше не буває). Основа основ, може бути, тому й ввижається в ньому щось таємниче і прадавнє. Всевидюче око всередині трикутника - один з найбільш ранніх з відомих окультних знаків, причому географія його розповсюдження і тимчасові рамки просто вражають уяву. Від стародавніх єгипетської, шумерської, ацтекської та інших цивілізацій до більш сучасних спільнот любителів окультизму, розкиданих по всій земній кулі.
Якими бувають трикутники
Звичайний різнобічний трикутник - це замкнута геометрична фігура, що складається з трьох відрізків різної довжини і трьох кутів, жоден з яких не є прямим. Крім нього, розрізняють кілька особливих видів.
Трикутник гострокутий має всі кути величиною менше 90 градусів. Іншими словами - всі кути такого трикутника гострі.
Прямокутний трикутник, над яким в усі часи плакали школярі через велику кількість теорем, має один кут з величиною 90 градусів або, як його ще називають, прямий.
Тупоугольние трикутник відрізняється тим, що один з його кутів тупий, тобто величина його - понад 90 градусів.
Рівносторонній трикутник має три сторони однакової довжини. У такої фігури рівні також всі кути.
І нарешті, у рівнобедреного трикутника з трьох сторін дві рівні між собою.
Відмінні особливості
Властивості рівнобедреного трикутника визначають і його основне, головне, відмінність - рівність двох сторін. Ці рівні один одному боку прийнято називати стегнами (або, частіше, бічними сторонами), ну а третя сторона носить назву «підстава».
На даному малюнку a = b.
Друга ознака рівнобедреного трикутника випливає з теореми синусів. Так як рівні сторони a і b, рівні і синуси їх протилежних кутів:
a / sin gamma- = b / sin alpha-, звідки маємо: sin gamma- = sin alpha-.
З рівності синусів слід рівність кутів: gamma- = alpha-.
Отже, другою ознакою рівнобедреного трикутника є рівність двох кутів, прилеглих до основи.
Третя ознака. У трикутнику розрізняють такі елементи, як висота, бісектриса і медіана.
Якщо в процесі виконання завдання з`ясовується, що в розглянутому трикутнику два будь-яких з цих елементів збігаються: висота з біссектрісой- бісектриса з медіаной- медіана з висотою - однозначно можна робити висновок, що трикутник рівнобедрений.
Геометричні властивості фігури
1. Властивості рівнобедреного трикутника. Одним з характерних якостей фігури є рівність кутів, прилеглих до основи:
alpha- = gamma-;
lt; ВАС = lt; ВСА.
2. Ще одна властивість розглянуто вище: медіана, бісектриса і висота в трикутник збігаються, якщо вони побудовані від його вершини до основи.
3. Рівність биссектрис, проведених з вершин при підставі:
Якщо АЕ - бісектриса кута ВАС, а CD - бісектриса кута BCA, то: AE = DC.
4. Властивості рівнобедреного трикутника передбачають також рівність висот, які проведені з вершин при підставі.
Якщо побудувати висоти трикутника АВС (де АВ = ВС) з вершин А і С, то отримані відрізки CD і АЕ дорівнюватимуть.
5. Рівними також виявляться і медіани, проведені з кутів при підставі.
Так, якщо АЕ і DC - медіани, тобто AD = DB, а BE = EC, то АЕ = DC.
Висота рівнобедреного трикутника
Рівність бічних сторін і кутів при них привносить деякі особливості в обчислення довжин елементів розглянутої фігури.
Висота в трикутник ділить фігуру на 2 симетричних прямокутних трикутника, гіпотенуза у яких виступають бічні сторони. Висота в такому випадку визначається відповідно до теореми Піфагора, як катет.
У трикутника можуть бути рівними всі три сторони, тоді він буде називатися рівностороннім. Висота в рівносторонньому трикутнику визначається аналогічно, тільки для розрахунків достатньо знати лише одне значення - довжину сторони цього трикутника.
Можна визначити висоту і іншим шляхом, наприклад знаючи підставу і прилеглий до нього кут.
Медіана рівнобедреного трикутника
Розглянутий тип трикутника, завдяки геометричним особливостям, вирішується досить просто по мінімальному набору вихідних даних. Так як медіана в трикутник дорівнює і його висоті, і його бісектрисі, то алгоритм її визначення нічим не відрізняється від порядку обчислення даних елементів.
Наприклад, визначити довжину медіани можна по відомій боковій частині і величиною кута при вершині.
Як визначити периметр
Так як у розглянутій планіметричний фігури дві сторони завжди рівні, то для визначення периметра досить знати довжину підстави і довжину однієї зі сторін.
Розглянемо приклад, коли потрібно визначити периметр трикутника по відомим основи і висоті.
Периметр дорівнює сумі підстави і подвоєною довжини бічної сторони. Бічна сторона, в свою чергу, визначається за допомогою теореми Піфагора як гіпотенуза прямокутного трикутника. Довжина її дорівнює кореню квадратному з суми квадрата висоти і квадрата половини підстави.
Площа рівнобедреного трикутника
Не викликає, як правило, труднощів і обчислення площі рівнобедреного трикутника. Універсальне правило визначення площі трикутника як половини твори підстави на його висоту можна застосувати, звичайно ж, і в нашому випадку. Однак властивості рівнобедреного трикутника знову полегшують завдання.
Припустимо, що відомі висота і кут, прилегла до основи. Необхідно визначити площу фігури. Зробити це можна таким способом.
Так як сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 °, то визначити величину кута не складе труднощів. Далі, скориставшись пропорцією, складеної відповідно до теореми синусів, визначається довжина підстави трикутника. Все, підстава та висота - достатні дані для визначення площі - є.
Інші властивості рівнобедреного трикутника
Положення центру кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, залежить від величини кута вершини. Так, якщо трикутник гострокутний, центр кола розташовується всередині фігури.
Центр кола, яка описана навколо тупоугольного рівнобедреного трикутника, лежить поза ним. І, нарешті, якщо величина кута при вершині дорівнює 90 °, центр лежить рівно на середині підстави, а через саму основу проходить діаметр окружності.
Для того щоб визначити радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, досить розділити довжину бічної сторони на подвоєний косинус половини величини кута при вершині.
