Прямокутна трапеція: все формули і приклади завдань

Завдання з трапецією Чи не здаються складними в ряді фігур, які вивчені раніше. Як окремий випадок розглядається прямокутна трапеція. А при пошуку її площі іноді буває зручніше розбити її на дві вже знайомі: прямокутник і трикутник. Варто тільки трохи подумати, і рішення обов`язково знайдеться.

Визначення прямокутної трапеції і її властивості

У довільній трапеції підстави паралельні, а бічні сторони можуть мати довільне значення кутів до них. Якщо розглядається прямокутна трапеція, то в ній одна зі сторін завжди перпендикулярна підставах. Тобто два кута в ній будуть рівні 90 градусам. Причому вони завжди належать суміжним вершинам або, іншими словами, однією боці.

прямокутна трапеція
Інші кути в прямокутної трапеції - це завжди гострий і тупий. Причому їх сума завжди буде дорівнює 180 градусам.

Кожна діагональ утворює з її меншою бічною стороною прямокутний трикутник. А висота, яка проведена з вершини з тупим кутом, ділить фігуру на дві. Одна з них прямокутник, а інша - прямокутний трикутник. До речі, ця сторона завжди дорівнює висоті трапеції.

Які позначення прийняті в представлених формулах?

Всі величини, що використовуються в різних виразах, які описують трапецію, зручно відразу обумовити і представити в таблиці:

величинаїї позначення
aбільше підставу
bменше підставу прямокутної трапеції
c, hперпендикулярна до підстав бічна сторона, висота
dпохила бічна сторона
alpha-гострий кут
beta-тупий кут
мсередня лінія трапеції
д1менша діагональ
д2велика діагональ

Формули, які описують елементи прямокутної трапеції

Найпростіша з них пов`язує висоту і меншу бічну сторону:

c = h.

Ще кілька формул для цієї сторони прямокутної трапеції:

з = d * sinalpha--

c = (a - b) * tg alpha--

c = radic- (d2 - (A - b)2).

Перша випливає з прямокутного трикутника. І говорить про те, що катет до гіпотенузи дає синус протилежного кута.

У тому ж трикутнику другий катет дорівнює різниці двох підстав. Тому справедливим є твердження, яке прирівнює тангенс кута до відношенню катетів.

З того ж трикутника можна вивести формулу, грунтуючись на знанні теореми Піфагора. Це третє записане вираз.

площа прямокутної трапеції
Можна записати формули для іншої бічної сторони. Їх теж три:

d = (a - b) / cosalpha--

d = c / sin alpha--

d = radic- (c2 + (А - b)2).



Перші дві знову виходять із співвідношення сторін в тому ж прямокутному трикутнику, а друга виводиться з теореми Піфагора.

Якою формулою можна скористатися для розрахунку площі?

Тієї, що дана для довільної трапеції. Тільки потрібно врахувати, що висотою є сторона, перпендикулярна до підстав.

S = (a + b) * h / 2.

Ці величини не завжди дані явно. Тому щоб обчислити площу прямокутної трапеції, потрібно виконати деякі математичні викладки.

підставу прямокутної трапеції

Як бути, якщо потрібно обчислити діагоналі?

У цьому випадку потрібно побачити, що вони утворюють два прямокутних трикутника. Значить, завжди можна скористатися теоремою Піфагора. Тоді перша діагональ буде виражатися так:

d1 = radic- (з2 + b2)

або по-іншому, замінивши «с» на «h»:

d1 = radic- (h2 + b2).



Аналогічним чином виходять формули для другої діагоналі:

d2 = radic- (з2 + b2) або d2 = radic- (h2 + а2).

завдання №1

Умова. Площа прямокутної трапеції відома і дорівнює 120 дм2. Її висота має довжину 8 дм. Необхідно обчислити всі сторони трапеції. Додатковою умовою є те, що одна підстава менше іншого на 6 дм.

Рішення. Оскільки дана прямокутна трапеція, в якій відома висота, то відразу ж можна сказати про те, що одна зі сторін дорівнює 8 дм, тобто менша бічна сторона.

Тепер можна порахувати іншу: d = radic- (з2 + (А - b)2). Причому тут відразу дані і сторона с, і різниця підстав. Останнє дорівнює 6 дм, це відомо з умови. Тоді d буде дорівнювати квадратному кореню з (64 + 36), тобто з 100. Так знайдена ще одна бічна сторона, що дорівнює 10 дм.

Суму підстав можна знайти з формули для площі. Вона буде дорівнює подвоєному значенню площі, розділеному на висоту. Якщо вважати, то виходить 240 / 8. Значить, сума підстав - це 30 дм. З іншого боку, їх різниця дорівнює 6 дм. Об`єднавши ці рівняння, можна порахувати обидва підстави:

а + b = 30 і а - b = 6.

Можна висловити а як (b + 6), підставити його в першу рівність. Тоді вийде, що 2b буде дорівнювати 24. Тому просто b виявиться 12 дм.

Тоді остання сторона а дорівнює 18 дм.

Відповідь. Сторони прямокутної трапеції: а = 18 дм, b = 12 дм, з = 8 дм, d = 10 дм.

боку прямокутної трапеції

завдання №2

Умова. Дана прямокутна трапеція. Її велика бічна сторона дорівнює сумі підстав. Її висота має довжину 12 см. Побудований прямокутник, сторони якого рівні підстав трапеції. Необхідно обчислити площу цього прямокутника.

Рішення. Почати потрібно з шуканого. Потрібна площа визначиться як твір a і b. Обидві ці величини не відомі.

Буде потрібно використовувати додаткові рівності. Одне з них побудовано на твердженні з умови: d = а + b. Необхідно скористатися третьої формулою для цієї сторони, яка дана вище. Вийде: d2 = з2 + (A - b)2 або (a + b)2 = з2 + (A - b)2.

Необхідно зробити перетворення, підставивши замість з його значення з умови - 12. Після розкриття дужок і приведення подібних доданків виходить, що 144 = 4 ab.

На початку рішення йшлося про те, що а * b дає шукану площу. Тому в останньому виразі можна замінити цей твір на S. Простий розрахунок дасть значення площі. S = 36 см2.

Відповідь. Шукана площа 36 см2.

кути в прямокутної трапеції

завдання №3

Умова. Площа прямокутної трапеції 150radic-3 смsup2-. Гострий кут дорівнює 60 градусам. Таке ж значення має кут між маленьким підставою і меншою діагоналлю. Потрібно обчислити меншу діагональ.

Рішення. З властивості кутів трапеції виходить, що її тупий кут дорівнює 120ordm-. Тоді діагональ ділить його на рівні, тому що одна його частина вже 60 градусів. Тоді і кут між цією діагоналлю і другим підставою теж 60 градусів. Тобто трикутник, утворений більшими підставами, похилій бічною стороною і меншою діагоналлю, є рівностороннім. Таким чином, шукана діагональ дорівнюватиме а, як і бічна сторона d = а.

Тепер потрібно розглянути прямокутний трикутник. У ньому третій кут дорівнює 30 градусам. Значить катет, що лежить проти нього, дорівнює половині гіпотенузи. Тобто менше підставу трапеції дорівнює половині шуканої діагоналі: b = a / 2. З нього ж потрібно знайти висоту, рівну бічній стороні, перпендикулярної підставах. Сторона з тут катет. З теореми Піфагора:

з = (a / 2) * radic-3.

Тепер залишилося тільки підставити всі величини в формулу площі:

150radic-3 = (a + a / 2) * (a / 2 * radic-3) / 2.

Рішення цього рівняння дає корінь 20

Відповідь. Менша діагональ має довжину 20 см.



Увага, тільки СЬОГОДНІ!

Увага, тільки СЬОГОДНІ!