Імовірність події. Визначення ймовірності події

Імовірність для суми таких несумісних подій складається з суми ймовірностей кожного з подій:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Якщо наступ однієї події робить неможливим настання іншого, то їх називають протилежними. Тоді одна з них позначають як А, а інше - (читається «не А»). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу з сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи або збільшуючи ймовірність один одного.

Відносини між подіями. приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей і комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає в витягуванні кульок з ящика, а результату кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один з можливих результатів досвіду - червоний куля, синій куля, куля з номером шість і т. Д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких пофарбовані в синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших - червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольору з цифрами від одного до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія. В ісп. №2 подія «дістати синій куля» достовірне, оскільки ймовірність його появи дорівнює 1, так як всі кулі сині і промаху бути не може. Тоді як подія «дістати кулю з цифрою 1» - випадкове.
• Неможливе подія. В ісп. №1 з синіми і червоними кулями подія «дістати фіолетова куля» неможливе, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівноможливими події. В ісп. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливими, а події «дістати кулю з парним числом» і «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
• Сумісні події. Два рази поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки - це сумісні події.
• Несумісні події. У тому ж ісп. №1 події «дістати червоний куля» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути суміщені в одному і тому ж досвіді.
• Протилежні події. Найбільш яскравий приклад цього - підкидання монет, коли витягування орла рівносильно невитягіванію решки, а сума їх ймовірностей - це завжди 1 (повна група).
• Зовсім події. Так, в ісп. №1 можна поставити собі за мету отримати два рази поспіль червону кулю. Його витяг або витягуванні її в перший раз впливає на можливість отримання вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другого (40% і 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від гадательних роздумів до точних даними відбувається за допомогою переказу теми в математичну площину. Тобто судження про випадковий подію на кшталт "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перевести до конкретних числових даних. Такий матеріал вже допустимо оцінювати, порівнювати і вводити в більш складні розрахунки.

З точки зору розрахунку, визначення ймовірності події - це відношення кількості елементарних позитивних результатів до кількості всіх можливих результатів досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р (А), де Р означає слово «probabilite», що з французької перекладається як «вірогідність».

Отже, формула ймовірності події:

Р (А) = m / n,

Де m - кількість сприятливих результатів для події А, n - сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 le- Р (А) le- 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо ісп. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 синіх кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоних з цифрами 2/4/6.

На підставі цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

• A - випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а всього варіантів 6. Це найпростіший приклад, в якому ймовірність події дорівнює Р (А) = 3/6 = 0,5.
• B - випадання парного числа. Всього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р (B) = 3/6 = 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Всього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події С дорівнює Р (С) = 4/6 = 0,67.

Як видно з розрахунків, подія С має велику ймовірність, оскільки кількість ймовірних позитивних результатів вище, ніж в А і В.

несумісні події

Такі події не можуть одночасно з`явитися в одному і тому ж досвіді. Як в ісп. №1 неможливо одночасно дістати синій і червоний куля. Тобто можна дістати або синій, або червону кулю. Точно так же в гральної кістки не можуть одночасно з`явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій розглядається як ймовірність їх суми або твори. Сумою таких подій А + В вважається така подія, яка полягає в появі події А або В, а твір їх АВ - в появі обох. Наприклад, поява двох шісток відразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подію, яка передбачає появу, принаймні, одного з них. Твір декількох подій - це спільна поява їх усіх.

У теорії ймовірності, як правило, вживання союзу "і" позначає суму, союзу "або" - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку додавання і множення в теорії ймовірностей.

Імовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не в одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, в такому досвіді всього 6 куль або 6 за всіма можливими результатами. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Вірогідність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифра 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

1/6 + 1/6 = 1/3

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Так, якщо в досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад в досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія , як відомо,

Р (А) + Р ( ) = 1

Імовірність добутку несумісних подій

Множення ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з`являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р (А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб два рази з`явиться синій куля, дорівнює

frac12- * frac12- = ¼

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб з витяганням куль буде витягнуто тільки сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко виконати практичні експерименти цього завдання і побачити, чи так це насправді.

спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може співпасти з появою іншого. Незважаючи на те що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з`явилися одночасно, вони незалежні один від одного - могла випасти всього одна шістка, друга кістка на неї впливу не має.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їх суми.

Імовірність суми спільних подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню один до одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твори (тобто їх спільного впровадження):

Р_{совместн.}(А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ)

Припустимо, що ймовірність попадання в мішень одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - влучення в мішень в першій спробі, В - в другій. Ці події спільні, оскільки не виключено, що можна вразити мішень і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Яка ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4 + 0,4-0,4 * 0,4 = 0,64

Відповідь на питання наступний: "Вірогідність потрапити в ціль з двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісною подій, де ймовірність спільно появи події Р (АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена у вигляді двох областей А і В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їх об`єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їх перетину. Це геометричне пояснення роблять більш зрозумілою нелогічну на перший погляд формулу. Відзначимо, що геометричні рішення - не рідкість в теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми безлічі (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб обчислити її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Зовсім події

Залежними події називаються в разі, якщо наступ одного (А) з них впливає на ймовірність настання іншого (В). Причому враховується вплив як появи події А, так і його не появу. Хоча події і називаються залежними по визначенню, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р (В) або ймовірність незалежних подій. У випадку з залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р_A(В), яка є ймовірністю залежного події В за умови того, що сталося події А (гіпотези), від якого воно залежить.

Але ж подія А так само випадково, тому у нього також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в здійснюваних розрахунках. Далі на прикладі буде показано, як працювати з залежними подіями і гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом для розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карт розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубновою масті, якщо перша витягнута:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події В залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубна (8) менше, ймовірність події В:

Р_A(В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і як і раніше зберігся повний число бубон (9), тоді ймовірність наступної події В:

Р_A(В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А домовлено в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події В зменшується, і навпаки.

Множення залежних подій

Керуючись попередньої главою, ми приймаємо перша подія (А) як факт, але якщо говорити по суті, воно має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме витяг бубни з колоди карт, дорівнює:

Р (А) = 9/36 = 1/4

Оскільки теорія не існує сама по собі, а покликана служити в практичних цілях, то справедливо відзначити, що частіше за все потрібна ймовірність твори залежних подій.

Згідно з теоремою про твір ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежного від А):

Р (АВ) = Р (А) * Р_A(В)

Тоді в прикладі з колодою можливість отримання двох карт з мастю бубни дорівнює:

9/36 * 8/35 = 0,0571, або 5,7%

І ймовірність вилучення з самого початку не бубни, а потім бубни, дорівнює:

27/36 * 9/35 = 0,19, або 19%

Видно, що ймовірність появи події В більше за умови, що першою витягується карта масті, відмінною від бубни. Такий результат цілком логічний і зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранною, то звичайними методами її обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, а саме А1, А2, ..., А_n, ..утворює повну групу подій за умови:

• P (A_i)> 0, i = 1,2, ...
• A_icap- A_j= Oslash-, ine-j.
• Sigma-_k A_k= Omega-.

Отже, формула повної ймовірності для події В при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А_n дорівнює_:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна в багатьох сферах науки: економетрики, статистикою, у фізиці і т. Д. Оскільки деякі процеси неможливо описати детерміновано, так як вони самі мають імовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана в будь-який технологічною сфері як спосіб визначити можливість помилки або несправності.

Можна сказати, що, пізнаючи ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок в майбутнє, розглядаючи його через призму формул.