Периметр квадрата і прямокутника. Способи визначення та приклади розв'язання.

Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали, тригонометричні функції і інші розділи предмета - не допомагають полегшити життя людини. Такі жарти даремні, адже як виручає уміння правильно розраховувати периметр квадрата, прямокутника і інших геометричних фігур в будівельних роботах. Витрата матеріалу: плитки, шпалер, підлогового покриття - не визначити без розуміння елементарних математичних формул і геометричних фігур.

властивості квадрата

Будь-які обчислення в математиці базуються на властивостях об`єкта. Щоб відповісти на питання: «Чому дорівнює периметр квадрата?» - Рекомендується згадати відмінні характеристики цієї фігури.

1. Рівність усіх боків.
2. Наявність чотирьох кутів величиною 90 градусів.
3. Паралельність сторін.
4. Поворотна симетрія. При обертанні фігури її вид залишається незмінним.
5. Можливість описати і вписати коло.
6. Діагоналі при перетині ділять один одного навпіл.
7. Площа фігури характеризує заповнене квадратом місце в двомірному просторі.
8. Периметр фігури не що інше, як сума довжин його сторін.
9. З попереднього властивості випливає, що одиницями вимірювання величини периметра будуть одиниці довжини: м, см, дм і інші.

Для підрахунку плінтусів для завершення ремонту в квадратному приміщенні, необхідно знати довжину кімнати. Для цього необхідно порахувати її периметр.

периметр

У перекладі з грецької мови слово означає «вимірювати навколо». Термін застосуємо до всіх замкнутим фігурам: квадрату, колу, прямокутника, трикутника, трапеції і іншим. Знання по визначенню периметра елементарних фігур необхідні для вирішення складних геометричних задач з об`єктами неправильної форми. Наприклад, для розрахунку плінтусів в кімнату плануванням типу «Г», або як ще називають, «чобітком», буде потрібно визначити периметр квадрата і прямокутника. Адже форма приміщення складається з цих елементарних фігур.

Загальноприйняте позначення такої величини - буква Р. Кожній фігурі з урахуванням її властивостей притаманна своя формула для визначення периметра.

властивості прямокутника

1. Рівність протилежних сторін.
2. Рівність діагоналей.
3. Можливість описати коло.
4. Висоти прямокутника рівні його сторонам.
5. Сума кутів дорівнює 360 градусів, і всі кути прямі.
6. Паралельність протилежних сторін.
7. Перпендикулярність прилеглих сторін.
8. Сума квадратів діагоналей прямокутника дорівнює сумі квадратів його сторін.
9. Перетинаючись, діагоналі ділять один одного навпіл.
10. Неможливість вписати в фігуру окружність.

периметр квадрата

Залежно від встановлених (відомих) параметрів квадрата, існують різні формули для визначення його периметра. Простим завданням є розрахунок периметра при встановленій довжині його боку (с). В цьому випадку Р = з + з + з + з або 4 * с. Наприклад, довжина сторони квадрата 7 см, тоді периметр фігури буде 28 см (4 * 7).

У першому випадку все зрозуміло, але як знайти периметр квадрата, знаючи його площу? І тут все гранично ясно. Оскільки площа фігури визначається множенням одного боку на іншу, а у квадрата всі сторони рівні, необхідно витягти корінь з відомої величини. Приклад: є квадрат з площею 25 дм². Корінь з 25 дорівнює 5 - ця величина характеризує довжину сторони квадрата. Тепер, підставляючи знайдену величину - 5 дм² - до первісної формулу периметра, можна вирішити задачу. Відповіддю буде значення в 20 дм. Тобто 4 помножили на 5, отримали шукану величину.

Квадрат і коло

З властивостей розглянутої фігури випливає, що в квадрат можна вписати коло і також її описати навколо фігури.

Перший варіант - знаходження периметра по радіусу описаного кола. Вписаним вважається квадрат, вершини якого знаходяться на колі. Радіус кола дорівнює 1/2 довжини діагоналі. Виходить, що діаметр дорівнює діагоналі. Тепер необхідно розглянути прямокутний трикутник, який вийшов в результаті поділу діагоналлю квадрата. Рішення завдання зводиться до знаходження сторін цього трикутника. ВС - це відома величина, діаметр описаного кола. Припустимо, він дорівнює 3 см. Теорема Піфагора у випадку з рівними сторонами трикутника, буде виглядати так: 2с²= 3² . У формулі позначення з - це довжина сторони трикутника і квадрата- 3 - відома величина гіпотенузи. Звідси, з = radic-9/2. Знаючи сторону квадрата, його периметр порахувати не проблема.

Особливістю вписаного кола є поділ сторін квадрата навпіл. Тому радіус дорівнює половині довжини сторони квадрата. Тоді сторона з = 2 * радіус. Периметр квадрата в цьому випадку дорівнює 4 * 2 * радіус або 8 радіусів кола.

периметр прямокутника

Сама елементарна формула визначення периметра прямокутника через відомі величини його сторін виглядає так: Р = 2 (а + b), де а і b - довжини сторін фігури.

Діагональ прямокутника аналогічно квадрату ділить фігуру навпіл, утворюючи прямокутний трикутник. Однак завдання ускладнюється тим, що сторони цього трикутника нерівні. У випадку з відомою величиною однієї зі сторін і діагоналі, другу можна знайти, слідуючи теоремі Піфагора: д²= а²+в², де а і в - сторони фігури, а д - діагональ.

Якщо невідома жодна зі сторін, тоді в справу вступають знання тригонометрії: синуси, косинуси і інші функції.

Знаходження периметра по описаної окружності і відомому діаметру зводиться до того, що діаметр дорівнює довжині діагоналі фігури. Далі рішення задачі визначається за наявністю відомих величин. Якщо дані кути, тоді через тригонометричні функції. Якщо дана сторона, відповідь буде знайдено через теорему Піфагора.

Прямокутник і тригонометричні функції

Для наочності наведено приклади розв`язання задач. Дано: прямокутник АВСД- довжина діагоналі (d) 20 см-кут ф - 30 °. Знайти периметр фігури.

З тригонометрії необхідно згадати наступне: синус кута в прямокутному трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи. Синус 30 ° (існують таблиці, за якими можна визначити значення тригонометричних функцій для правильних кутів) дорівнює 1/2. Виходить 1/2 = відношенню до до d. Невідома величина в дорівнюватиме d/ 2 = 20/2 = 10 см.

Для розрахунку периметра слід знайти другу сторону фігури. Можна через теорему Піфагора, так як відомі довжини гіпотенузи і одного з катетів або знову через ставлення сторін для косинуса кута.

косинус кута ф виражається як відношення прилеглого катета до гіпотенузи дорівнює radic-3/2.

radic-3/2 =n / d, n = (d* Radic-3) / 2 або 10 * radic-3. Після вилучення кореня з 3, отримуємо довжину сторони трикутника: 10 * 1,73 = 17,3 см.

Периметр дорівнює 2 (17,3 + 10) = 2 * 27,3 = 54,6 см.

Периметр і ставлення сторін

У шкільній програмі зустрічаються завдання з геометрії, коли довжини сторін прямокутника виражені їх ставленням один до одного. Розгляд вирішення такого завдання представлено нижче.

Відомо, що сума довжин всіх сторін прямокутника, тобто його периметр, дорівнює 84 см. Відношення довжини (д) до ширини (ш) - 3: 2. Знайти сторони фігури.

Рішення: нехай довжина буде 3х, а ширина 2х, згідно співвідношенню з умови задачі. Формула периметра прямокутника з отриманими даними довжин сторін буде наступною: 3х + 3х + 2х + 2х = 84. Далі, 10х = 84, х = 8,4 см. Підставивши х в вираз довжини і ширини прямокутника, можна знайти шукані величини. Довжина буде: 3 * 8,4 = 25,2 см-ширина: 2 * 8,4 = 16,8 см.

Стаття присвячена вирішенню найбільш часто зустрічаються завдань у шкільній програмі. І це далеко не всі способи знаходження периметра квадрата і прямокутника.