Ознаки подібності трикутників і їх практичне застосування для вирішення задач

Поняття подібності довільних геометричних фігур, по суті, дуже просто можна пояснити і тим більше довести. Так, наприклад, розглядаючи предмет через лупу, ми бачимо збільшене в кілька разів зображення цього предмета зі збереженням пропорцій усіх його розмірів. Іншими словами, зображення предмета аналогічно вихідного об`єкту до збільшення. У більшості завдань з геометрії для доказу пропорційності сторін і площ трикутників застосовуються основні 3 ознаки. Для того щоб розглянути існуючі ознаки подібності трикутників, необхідно спочатку визначитися з ключовим поняттям, яке буде в подальшому використовуватися в тексті.

Отже, трикутники є подібними, якщо їх аналогічно розташовані боку пропорційні, а відповідно розташовані кути рівні (варто пам`ятати про те, що сторони називаються аналогічними, або відповідними, якщо вони розташовані навпроти однакових за величиною кутів). Розглянемо подібні трикутники АВС і А₁B₁C₁. Згідно вище викладеного поняття, відповідними сторонами є: АВ і А₁B₁, а також пари сторін BC і B₁C₁, АС і А₁C₁. Зверніть увагу, що сторони кожної з цих трьох пар лежать навпроти однакових за величиною кутів.

Подоба позначається спеціальним символом, який ставиться між позначеннями розглянутих фігур: АВС sim- А₁B₁C₁.

Ставлення відповідних сторін при при наявності даної ознаки - це параметр, званий коефіцієнтом подібності k. У разі якщо k = 2, то можна сказати, що одна з двох розглянутих геометричних фігур є збільшеною в два рази копією іншого. Ясно, що в разі якщо k = 1, то трикутники рівні. Таким чином, дане рівність можна вважати деяким окремим випадком їх подібності.

Ознаки подібності трикутників

Виявляється, для встановлення факту наявності розглянутого ознаки немає потреби перевіряти всі вимоги, перераховані в формулюванні визначення подібності, даного вище. Достатньо лише виконання мінімального набору умов, і це ми зараз підтвердимо на практиці.

перша ознака

При вирішенні завдань перша ознака подібності трикутників фігурує в доказах набагато частіше, ніж інші. Зверніть увагу, що він оперує лише двома елементами геометричної фігури: двома кутами. Інші ознаки подібності трикутників вимагають для доказу участі трьох елементів. Отже, для двох довільних подібних трикутників 2 кута одного з них рівні аналогічним 2-м кутах іншого.

Доведення

Згідно з основними властивостями, що діє від імені будь-якого довільного трикутника, можна записати наступний вираз для ang-С. Його величина буде дорівнює (180 ° - (ang-А + ang-В)), для іншого ang-С₁ величина буде розрахована за таким же прінціпу.Путем елементарних перетворень виразів отримуємо, що ang-С = ang-С₁. Таким чином, всі кути, наявні в АВС, рівні всім аналогічним кутах, розташованим в А₁В₁З₁. За аналогічним алгоритмом доводяться інші ознаки подібності трикутників.

Друга ознака

Цей підхід до доведення досить часто застосовують, якщо відомі кути розглянутих геометричних фігур.

Для двох подібних трикутників справедливим є твердження про те, що 2 боку будь-якого з них пропорційні 2-м аналогічним сторонам іншого, і при цьому кути, розташовані між цими парами сторін, рівні.

Доведення

Для доказу цього показника необхідно звернутися до попередніх викладкам. Виходячи з наведених вище результатів, нам достатньо довести, що ang-В = ang-В₁. Розглянемо АВС₂, для якого, згідно з першим ознакою, справедливі наступні твердження: ang-1 = ang-А₁, ang-2 = ang-В₁. АВС₂~ А₁В₁З₁. Значить, АВ / А₁В₁= АС₂/ А₁С. З іншого боку, відомо з умови, що має місце співвідношення виду: АС / А₁З_{1 =}АВ / А₁В₁. В результаті отримуємо рівність сторін АС = АС₂, а також твердження про те, що АВС ~ АВС₂ за другою ознакою (АС = АС₂ і ang-А = ang-1, так як в результаті розгляду вихідних даних встановили, що А = ang-А₁ і ang-1 = ang-А₁, АВ є спільною стороною для цих двох трикутників). З докази слід, що ang-В = ang-2, а так як ang-2 = ang-В₁, то отримуємо, що ang-В = ang-В₁. З чого випливає, що ще одна ознака доведений.

третя ознака

Даний ознака вважається найбільш очевидним при доказі подібності, оскільки розглядаються всі сторони даних трикутників з відомими параметрами.

Отже, для двох трикутників, які подібні один одному, має місце твердження про те, що 3 боку одного з них пропорційні 3-м відповідним сторонам іншого.

Доведення

З огляду на попередній ознака подібності, тепер для побудови докази досить лише встановити те, що існує рівність виду: ang-A = ang-A₁. Для цього розглянемо будь-який довільний АВС₂, у якого ang-1 = ang-A₁, ang-2 = ang-В₁. За 1-му ознакою АВС₂ sim- А₁B₁C₁, отже для цих двох трикутників можемо записати співвідношення виду АВ / А₁В₁= ВС₂/ В₁З₁ = С₂А / С₁А_1, з якого можна записати рівності виду: В₁З₁= ВС₂, А₁З₁= АС₂. З цього логічно зробити висновок, що АВС sim- АВС_2, і, як висновок, ang-А і ang-А₁ рівні. З чого випливає, що розглянутий ознака також доведений.

властивості

1. Для двох трикутників, подібних один одному, ставлення величин їх площ прямо пропорційно коефіцієнту, зведеному в квадрат. Доведення. Розглянемо дві довільних фігури, що мають по три сторони і три кути, які подібні один одному. Нехай А і А₁ - відповідні сторони даних фігур, а h і h₁ - відповідні висоти. Нехай k - коефіцієнт подібності для розглянутих трикутників, отже, зі співвідношення сторін можемо записати рівняння виду: А₁= К * А. Неважко побачити, що і для співвідношення висот можемо записати рівняння виду: h₁= К * h. Для відносини площ розглянутих геометричних фігур отримуємо: S₁/ S = (1 / 2a₁h₁) / (1 / 2ah) = (a₁/ A) * (h₁/ H) = k * k = k². Таким чином, при «розтягуванні» трикутника в 2 рази його площа збільшується в 2²= 4 рази. Друге властивість випливає з попереднього докази і безпосередньо з ним пов`язано.
2. Всі відповідні лінії, проведені в подібних трикутниках, також пропорційні між собою і дорівнюють величині виявленого вище коефіцієнта. Тобто, згідно з наведеним вище властивості, можна стверджувати, що всі внутрішні додаткові побудови також будуть пропорційні.

Доповнення до основного переліку ознак

Варто розглянути ще ряд окремих ознак, які застосовні для геометричних фігур певного виду. Отже, прямокутні трикутники є подібними, якщо:

• їх гіпотенузи і будь-який з двох катетів відповідно пропорційні;
• якщо їх відповідні гострі кути рівні;
• якщо все катети розглянутих трикутників попарно пропорційні.

висновок

Таким чином, ми об`єднали всі можливі ознаки, за допомогою яких можна так чи інакше довести подібність двох і більше фігур з трьома кутами і сторонами, незалежно від їх виду і властивостей. У більшості завдань з геометрії для доказу пропорційності сторін і площ застосовуються основні три ознаки, але ми не залишили без уваги ряд ознак подібності, які можуть застосовуватися лише в разі, якщо необхідно здійснити доказ для розглянутих геометричних фігур з наявністю прямого кута. Дані ознаки подібності прямокутних трикутників значно спрощують процес вирішення різного роду завдань і вимагають для них мінімум даних.