Пляшка клейна: властивості і застосування

Пляшка Клейна - це двовимірне різноманіття, безумовно не орієнтується поверхню. Вперше вона була описана німецьким математиком Клейном в 1882 році. Якщо розрізати пляшку Клейна уздовж осі її симетрії навпіл на рівні частини, то в результаті вийде стрічка Мебіуса. Сама назва, швидше за все, походить від невірного перекладу з німецької слова Flache - поверхню. За написання це слово близьке до слова Flasche - пляшка. Надалі ця назва саме в такому варіанті повернулося в німецьку мову.

пляшка Клейна

Сфера навиворіт



Стрічка Мебіуса, пляшка Клейна і гептаедр - все це являє собою завершення статичні конструкції з вивернутими навиворіт поверхнями. У 20-му столітті топологи стали вирішувати завдання динамічного характеру, і першою з них було вивертання сфери. На відміну від перерахованих вище фігур, поверхня сфери орієнтована. Її внутрішню сторону можна пофарбувати в синій колір, а зовнішню - в колір червоний. Якщо після такого фарбування поверхонь поміняти південний і північний полюси сфери місцями, спонукаючи їх уздовж з`єднує осі, то сфера виявиться вивернула навиворіт так, що її зовнішня поверхня стане синього кольору, а внутрішня - червоного. По всьому колу екватора при цьому утворюється складка. Але і це ще не все: коли полюса пройдуть уздовж осі більшу частину шляху і зовнішня поверхня сфери змінить колір з червоного на синій, то по всій довжині екватора створиться тороїдальна поверхню, забарвлена з зовнішньої сторони в червоний колір. Отже, вивернута наполовину сфера показує ще один цікавий ефект в топології - переплетення зовнішнього і внутрішнього простору, так як із зовнішнього боку виявляються одночасно обидві поверхні.

пляшки Клейна



Як побудувати модель пляшки Клейна

Для початку потрібно взяти пляшку з отворами в стінці і в денці і витягнути шийку, зігнувши його вниз і протягнувши через отвір в стінці. Якщо будувати модель справжньої пляшки в чотиривимірному просторі, то в отворі в стінці немає необхідності. Але без нього не обійтися, якщо модель будується в тривимірному евклідовому просторі (R3). Потім горлечко потрібно приєднати до отвору на дні. Пляшка Клейна, на відміну від звичайного склянки, не має «краю», де б різко закінчувалася поверхню. Якщо порівняти її з повітряною кулею, то шлях зсередини назовні вона проходить, не перетинаючи поверхню. Значить, насправді об`єкт не має ні внутрішньої, ні зовнішньої поверхні.

Пляшка Клейна: застосування і властивості

Пляшка Клейна застосування

Це об`єкт, як і стрічка Мебіуса, є двовимірним диференційовних НЕ орієнтується різноманіттям. Але, на відміну від стрічки, пляшка Клейна є компактним різноманіттям без краю. Якщо склеїти по краях дві стрічки Мебіуса, то вийде пляшка Клейна. Але це неможливо зробити в звичайному просторі (R3) без створення самопересеченія. Пляшка Клейна може бути тільки занурена в тривимірний простір, але при цьому її можна вкласти в простір чотиривимірний. У даного об`єкта хроматичної число поверхонь дорівнює шести.



Увага, тільки СЬОГОДНІ!

Увага, тільки СЬОГОДНІ!