Діагональ куба - це один з елементів, який буде потрібно знати при вирішенні завдань по стереометрії під час виконання підсумкової роботи з математики за курс основної школи.
Трохи теорії про кубі
Цей багатогранник відноситься відразу до прямого паралелепіпеда і призмам. Він - приватний випадок того і іншого. У підставі куба лежить квадрат, і бічні ребра його рівні стороні даного квадрата. Таким чином, всі три виміри мають однакові значення.
Всі шість граней куба є квадрати. Довжина кожного з 12 ребер однакова.
У кожній з граней можна провести діагональ, довжину якої легко знайти за формулою Піфагора. Крім того, сам куб має діагоналі. Їх всього чотири. Проводиться діагональ куба так, щоб починатися з вершини нижньої основи. Кінець цього відрізка виявляється в вершині верхнього підстави, але так, щоб не збігтися з діагоналлю квадрата.
важливі формули
У них буде потрібно ввести однакове позначення. Найчастіше буква «а» - це сторона куба. «V» припадає на обсяг. «S» і «d» відповідно площа і діагональ. «R» і «r» радіуси описаної і вписаною сфер.
V = asup3- (№1) використовується для знаходження об`єму;
S = asup2- (№2) формула для площі грані;
S = 6asup2- (№3) необхідна для розрахунку площі всієї поверхні куба;
якщо потрібно дізнатися діагональ куба, формула буде такою d =аradic-3 (№4) -
для пошуку радіусів знадобляться: R =(А / 2) *radic-3і r =а / 2 (№5) і (№6).
Кілька слів про симетрії куба
У цього геометричного тіла є два види симетрії: щодо точки і осі. Для знаходження першої потрібно провести діагональ куба, потім другу, щоб знайти точку їх перетину. Вона буде центром симетрії.
Всі прямі, які проходять через цю точку і є перпендикулярними до граней, виявляються осями симетрії.
Приклади завдань з ЄДІ
Вони використовуються в частині В, тобто там, де потрібно виконати розгорнуте рішення завдання. Просто вибрати відповідь тут не вдасться. Тому доведеться знати формули і вміти їх застосовувати в різних ситуаціях.
Перша група завдань. У ній відома довжина діагоналі куба. Потрібно обчислити його обсяг або дізнатися площа поверхні.
Наприклад, відома величина може дорівнювати одиниці. Тоді, щоб дізнатися обсяг і площа, потрібно скористатися формулами № 1 і 3. Але в них йдеться про ребрі, а дана діагональ. Буде потрібно записати ще одну формулу.
Якщо подивитися на креслення куба і проведену в ньому діагональ, то можна побачити, що утворюється прямокутний трикутник. Один його катет збігається з ребром, другий - з діагоналлю грані, а гіпотенузою виявляється діагональ куба.
Тоді можна записати теорему Піфагора: квадрат гіпотенузи (d2) Дорівнює квадрату перового катета (а2), Складеному з квадратом другого (аradic-2)2. Після виконання перетворень виходить, що ребро куба а так пов`язано з діагоналлю, що дорівнює d, поділеній на корінь квадратний з 3.
Тепер можна початку дізнатися ребро, а потім підрахувати обсяг і площа. У конкретному завданні а = 1 / radic-3 = (radic-3) / 3. Тоді обсяг виходить рівним (radic-3) / 9. Площа ж - два.
Друга група завдань. Зворотній попередньої, коли відомі площа або об`єм, а потрібно обчислити значення діагоналі куба.
Прикладом може служити завдання, в якій відома площа поверхні, і вона дорівнює 8. Необхідно буде скористатися формулою №3 і тієї залежністю, яка виведена в попередній задачі.
Спочатку потрібно дізнатися довжину ребра. вона дорівнює квадратному кореню з приватного S на 6. Після підстановки відомої величини а = radic- (8/6) = radic- (4/3). Тепер залишилося обчислити діагональ куба, звівши це число в квадрат і помноживши його на 3. Вийде 2.
Третя група завдань містить дані про діагоналі грані куба. У них необхідно дізнаватися обсяг або площа тіла. Можливий також варіант, в якому буде потрібно обчислити діагональ самого куба. У таких завданнях міркування йдуть тим же шляхом, який розглянуто в попередніх випадках.
