Обертальний рух тіла. Закон обертального руху

У цій статті описується важливий розділ фізики - "Кінематика і динаміка обертального руху".

Основні поняття кінематики обертального руху

Обертальнимрухом матеріальної точки навколо нерухомої осі називають такий рух, траєкторією якого є коло, що знаходиться в площині перпендикулярній до осі, а центр її лежить на осі обертання.

Обертальний рух твердого тіла - це рух, при якому по концентричних (центри яких лежать на одній осі) колах рухаються всі крапки тіла відповідно до правила для обертального руху матеріальної точки.

Нехай довільне тверде тіло T здійснює обертання навколо осі O, яка перпендикулярна площині малюнка. Виберемо на даному тілі точку M. При обертанні ця точка буде описувати навколо осі O коло радіусом r.

Через деякий час радіус повернеться щодо вихідного положення на кут Delta-phi-.

За позитивний напрямок повороту прийнято напрям правого гвинта (за годинниковою стрілкою). Зміна кута повороту з часом називається рівнянням обертального руху твердого тіла:

phi- = phi- (t).

якщо phi- вимірювати в радіанах (1 рад - це кут, відповідний дузі, довжиною рівній її радіусу), то довжина дуги кола Delta-S, яку пройде матеріальна точка M за час Delta-t, дорівнює:

Delta-S = Delta-phi-r.

Основні елементи кінематики рівномірного обертального руху

Мірою переміщення матеріальної точки за невеликий проміжок часу dt служить вектор елементарного повороту dphi-.

Кутова швидкість матеріальної точки або тіла - це фізична величина, яка визначається відношенням вектора елементарного повороту до тривалості цього повороту. Напрямок вектора можна визначити правилом правого гвинта уздовж осі О. У скалярному вигляді:

omega- = dphi- / dt.

якщо omega- = dphi- / dt = const, то такий рух називається рівномірний обертальний рух. При ньому кутову швидкість визначають за формулою

omega- = phi- / t.

Згідно з попередньою формулою розмірність кутової швидкості

[Omega-] = 1 рад / с.

Рівномірний обертальний рух тіла можна описати періодом обертання. Період обертання T - фізична величина, яка визначає час, за який тіло навколо осі обертання виконує один повний оборот ([T] = 1 с). Якщо у формулі для кутової швидкості прийняти t = T, phi- = 2 pi- (повний один оборот радіуса r), то

omega- = 2pi- / T,

тому період обертання визначимо наступним чином:

T = 2pi- / omega-.

Число оборотів, яке за одиницю часу здійснює тіло, називається частотою обертання nu-, яка дорівнює:

nu- = 1 / T.

Одиниці виміру частоти: [Nu -] = 1 / c = 1 c^-1 = 1 Гц.

Порівнюючи формули для кутової швидкості і частоти обертання, отримаємо вираз, що пов`язує ці величини:

omega- = 2pi-nu-.

Основні елементи кінематики нерівномірного обертального руху

Нерівномірний обертальний рух твердого тіла або матеріальної точки навколо нерухомої осі характеризує його кутова швидкість, яка змінюється з часом.

вектор epsilon-, характеризує швидкість зміни кутової швидкості, називається вектором кутового прискорення:

epsilon- = domega- / dt.

Якщо тіло обертається, прискорюючись, тобто domega- / dt> 0, вектор має напрямок уздовж осі в ту ж сторону, що і omega-.

Якщо обертальний рух уповільнений - domega- / dt lt; 0, то вектори epsilon- і omega- протилежно спрямовані.

зауваження. Коли відбувається нерівномірний обертальний рух, вектор omega- може змінюватися не тільки за величиною, а й у напрямку (при повороті осі обертання).

Зв`язок величин, що характеризують поступальний і обертальний рух

Відомо, що довжина дуги з кутом повороту радіуса і його величиною пов`язана співвідношенням

Delta-S = Delta-phi- r.

Тоді лінійна швидкість матеріальної точки, що виконує обертальний рух

upsilon- = Delta-S / Delta-t = Delta-phi-r / Delta-t = omega-r.

Нормальне прискорення матеріальної точки, що виконує обертально поступальний рух, визначимо наступним чином:

a = upsilon-²/ R = omega-²r²/ R.

Отже, в скалярному вигляді

a = omega-²r.

Тангенціальне прискореної матеріальної точки, яка виконує обертальний рух

a = epsilon- r.

Момент імпульсу матеріальної точки

Векторний добуток радіуса-вектора траєкторії матеріальної точки масою m_i на її імпульс називається моментом імпульсу цієї точки відносно осі обертання. Напрямок вектора можна визначити, скориставшись правилом правого гвинта.

Момент імпульсу матеріальної точки (L_i) Спрямований перпендикулярно площині, проведеної через r_i і upsilon-_i, і утворює з ними праву трійку векторів (тобто при русі з кінця вектора r_i до upsilon-_i правий гвинт покаже напрям вектора L_i).

У скалярною формі

L = m_iupsilon-_ir_isin (upsilon-_i,r_i).

З огляду на, що при русі по колу радіус-вектор і вектор лінійної швидкості для i-ї матеріальної точки взаємно перпендикулярні,

sin (upsilon-_i,r_i) = 1.

Так що момент імпульсу матеріальної точки для обертального руху набуде вигляду

L = m_iupsilon-_ir_i.

Момент сили, яка діє на i-ю матеріальну точку

Векторний добуток радіуса-вектора, який проведено в точку прикладання сили, на цю силу називається моментом сили, що діє на i-ю матеріальну точку відносно осі обертання.

У скалярною формі

M_i = r_iF_isin (r_i, F_i).

Вважаючи, що r_isinalpha- = l_i, M_i = l_iF_i.

величина l_i, рівна довжині перпендикуляра, опущеного з точки обертання на напрям дії сили, називається плечем сили F_i.

Динаміка обертального руху

Рівняння динаміки обертального руху записується так:

M = dL / dt.

Формулювання закону наступна: швидкість зміни моменту імпульсу тіла, яке здійснює обертання навколо нерухомої осі, дорівнює результуючому моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.

Момент імпульсу і момент інерції

Відомо, що для i-ї матеріальної точки момент імпульсу в скалярною формі задається формулою

L_i = m_iupsilon-_ir_i.

Якщо замість лінійної швидкості підставити її вираз через кутову:

upsilon-_i = omega-r_i,

то вираз для моменту імпульсу набуде вигляду

L_i = m_ir_i²omega-.

величина I_i = m_ir_i² називається моментом інерції щодо осі i-й матеріальної точки абсолютно твердого тіла, що проходить через його центр мас. Тоді момент імпульсу матеріальної точки запишемо:

L_i = I_iomega-.

Момент імпульсу абсолютно твердого тіла запишемо як суму моментів імпульсу матеріальних точок, що складають дане тіло:

L = Iomega-.

Момент сили і момент інерції

Закон обертального руху говорить:

M = dL / dt.

Відомо, що уявити момент імпульсу тіла можна через момент інерції:

L = Iomega-.

тоді

M = Idomega- / dt.

З огляду на, що кутове прискорення визначається виразом

epsilon- = domega- / dt,

отримаємо формулу для моменту сили, представленого через момент інерції:

M = Iepsilon-.

Зауваження. Момент сили вважається позитивним, якщо кутове прискорення, яким він викликаний, більше нуля, і навпаки.

Теорема Штейнера. Закон складання моментів інерції

Якщо вісь обертання тіла через центр мас його не проходить, то відносно цієї осі можна знайти його момент інерції по теоремі Штейнера:
I = I₀ + ma²,

де I₀ - початковий момент інерції тіла- m - маса тіла- a - відстань між осями.

Якщо система, яка здійснює обороти округ нерухомої осі, складається з n тел, то сумарний момент інерції такого типу системи буде дорівнює сумі моментів, її складових (закон додавання моментів інерції).